Técnicas Matemáticas de Resolución de Problemas

 

 CONCEPTO DE FUNCIÓN

 

Dados dos conjuntos D e I, se dice que f es una función definida en el conjunto D y tomando valores en el conjunto I cuando a cada elemento de D se le asigna uno y sólo un elemento de I.

 

 

El conjunto D recibe indistintamente los nombres de conjunto origen o dominio de la función y se representa por Dom(f ).

 

Un elemento cualquiera del conjunto D se representa por la letra x, y es la variable independiente.

 

Cada elemento x de D tiene por imagen, mediante la función f, un elemento de I que se representa por y  denominada variable dependiente. Esto se expresa escribiendo y = f(x).

 

El conjunto I es el conjunto final  y los elementos que son imagen de algún elemento de D forman el conjunto imagen (Im(f )) o recorrido de la función (f(D)).

 

                                                

                                                  

 

FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL

 

Se llama función real de variable real  a toda función definida de un subconjunto D de los números reales, en el conjunto R de los números reales, tal que a cada elemento x de D le corresponde uno y sólo un elemento y de R:

 

                                          

                                            

 

Para que una función quede correctamente definida es necesario determinar:

 

· El conjunto inicial o dominio de la función.

· El conjunto final o imagen de la función.

· La regla por la cual se asigna a cada elemento del conjunto origen un solo elemento del conjunto imagen.

Así, por ejemplo, la función definida por:

 

                                          

                                             

 

asigna a cada número real su cuadrado.

 

El dominio está formado por todos los números reales x, para los que su imagen está definida mediante la función f.

 

 

REPRESENTACIÓN DE UNA FUNCIÓN

 

La representación gráfica de una función permite visualizar de un modo claro y preciso su comportamiento.

 

Una función f  asigna a cada número x  del conjunto origen, un número y = f(x) del conjunto imagen.

 

El conjunto de los pares de números (x, y) determinados por la función recibe el nombre de gráfica  de la función.

 

 

OPERACIONES CON FUNCIONES

 

Suma de funciones

Sean f  y g dos funciones reales de variable real definidas en un mismo intervalo. Se llama suma de ambas funciones, y se representa por f + g, a la función definida por

 

                                         

 

Resta de funciones

Del mismo modo que se ha definido la suma de funciones, se define la resta de dos funciones reales de variable real f y g, como la función

 

                                         

 

Para que esto sea posible es necesario que f y g estén definidas en un mismo intervalo.

 

Producto de funciones

Sean f y g dos funciones reales de variable real, y definidas en un mismo intervalo. Se llama función producto de f y g a la función definida por

 

                                         

 

Cociente de funciones

Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, y definidas en un mismo intervalo, se llama función cociente de f y g a la función definida por

 

                                               

 

(La función f/g está definida en todos los puntos en los que la función g no se anula.)

 

Producto de un número por una función

Dado un número real a y una función f, el producto del número por la función es la función definida por

 

                                            

 

 

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

 

Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, se llama composición de las

funciones f y g, y se escribe g o f, a la función definida de R en R, por (g o f )(x) = g[f(x)].

 

La función ( g o f )(x) se lee « f compuesto con g aplicado a x ».

 

 

Primero actúa la función f y después actúa la función g, sobre f(x).

 

 

 

FUNCIONES SIMÉTRICAS

 

Funciones pares

Una función f es par cuando cumple f(x) = f(-x).

 

Es decir, las imágenes de valores opuestos coinciden.

 

                   

 

Por coincidir las imágenes de valores opuestos, la gráfica de una función par es simétrica respecto del eje Y.

 

 

 

Funciones impares

Una función f es impar  si cumple f(x) = -f(x).

 

A valores opuestos de x corresponden imágenes opuestas. (La imagen de 2 es la opuesta de la imagen de -2; la imagen de -1 es la opuesta de la imagen de 1...).

 

Por corresponder a valores opuestos de x, imágenes opuestas, la gráfica de una función impar es simétrica respecto al origen de coordenadas.

 

 

Funciones inversas

Dada una función f(x), su inversa es otra función, designada por f^-1(x) de forma que se verifica: si f(a) = b, entonces f^-1(b) = a

 

Las gráficas de dos funciones inversas son simétricas respecto de la bisectriz del 1^er cuadrante.