Técnicas Matemáticas de Resolución de Problemas

 

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

 

Idea intuitiva de límite de una función en un punto

El límite de una función y=f(x) en un punto x₀ es el valor al que tiende la función en puntos muy próximos a x₀

  

 

LÍMITES LATERALES

El límite por la izquierda de una función y=f(x), cuando x tiende a x₀, es el valor al que tiende la función para puntos muy próximos a x₀ pero menores que x_0.

 

El límite por la derecha de una función y=f(x), cuando x tiende a x₀, es el valor al que tiende la función para puntos muy próximos a x₀ pero mayores que x_0.

 

 

 

Relación entre el límite y los límites laterales de una función

 

 

El límite de una función y=f(x) en un punto x₀ existe si y sólo si los límites laterales y coinciden:

 

                          

 

PROP. DE LOS LÍM. DE FUNCIONES

 

Si una función f(x) tiene límite cuando x tiende a x₀, entonces el límite es único.

 

 

Límite de una suma de funciones

El límite de una suma de dos funciones convergentes, es igual a la suma de los límites de cada una de ellas:

 

                     

 

 

Límite de una resta de funciones

El límite de una resta de dos funciones convergentes, es igual a la diferencia de los

límites de cada una de ellas:

 

                     

 

 

 

Límite de un producto de funciones

El límite de un producto de dos funciones convergentes, es igual al producto de los límites de cada una de ellas:

 

                       

 

 

 

Límite de un cociente de funciones

El límite de un cociente de dos funciones convergentes es igual al cociente de los límites de cada una de ellas, si el denominador no es nulo:

 

                 

 

 

CÁLC. DE LÍMITES DE FUNC. ( I )

 

Cálculo del límite de funciones polinómicas

Una función polinómica es una función del tipo:

 

                               

 

Para estudiar el cálculo de su límite, se distinguirán dos casos:

 

 

El límite de una función polinómica en un punto x0 es igual al valor que toma la función en ese punto:

 

       

 

B. Límite de una función polinómica en el infinito

 

El límite de una función polinómica en el infinito es +¥ ó -¥, dependiendo de que el coeficiente del término de mayor grado del polinomio sea positivo o negativo:

 

             

 

            

 

 

Cálculo de límites de funciones racionales

 

Para estudiar el límite de una función racional, se distinguirán dos casos:

 

 

Puesto que una función racional es el cociente de dos polinomios, para calcular su límite puede aplicarse la regla para el cálculo del límite de un cociente de dos funciones:

 

                                        

 

Tanto el límite del numerador como el del denominador son límites de funciones polinómicas, cuyo cálculo se explicó en el apartado anterior.

 

Al efectuar estos límites pueden darse varias situaciones.

 

 

Se calculan en este caso los límites de P(x) y Q(x) como funciones polinómicas y se halla su cociente.

 

Si el denominador se anula en x0, puede ocurrir que el numerador también se anule en x0, o que el numerador no se anule en x0.

 

 

 

Para resolver esto basta con tener en cuenta que si Q(x0) = 0 y P(x0) = 0, x0 es raíz

 

Una vez hecha la simplificación, bien dividiendo P(x) y Q(x) entre x - x0 ó bien aplicando la regla de Ruffini, se vuelven a calcular los límites de los polinomios ya simplificados.

 

A.2.2. El límite del numerador no es cero.

 

 

 

Para resolver esta indeterminación es necesario estudiar los límites laterales de la

 

Si ambos límites laterales son iguales, la función tiene por límite su valor. Si no son iguales, la función no tiene límite.

 

 

CÁLC. DE LÍMITES DE FUNC. ( II )

 

B. Límite de una función racional en el infinito

 

Las reglas de cálculo de límites de funciones cuando x ® ±¥, son las mismas que las empleadas para límites de sucesiones.

 

El límite de una función racional cuando  x ® ±¥, es igual al límite del cociente de los términos de mayor grado del numerador y denominador.

 

Si    

       

 

 

El valor de este límite depende del valor que tengan n y m:

 

· Si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador (n > m), el límite es ±¥, dependiendo de que los signos de los cocientes an   y bm   sean iguales o distintos.

 

· Si el grado del numerador es igual que el grado del denominador (n = m),

 

· Si el grado del numerador es menor que el grado del denominador (n<m), el límite es 0.