Ejercicio 1:(1 punto) Probar que

å k æ è r m+k ö ø æ è s n-k ö ø =  æ è r+s m+n ö ø .

(Indicación: usar los desarrollos de (x+y)^p para p=r,s,r+s.)
 

Ejercicio 2: (3 puntos) A) Sabiendo que [ 1/((1-x)^c)] = å_n((n-1+c) || n) xⁿ obtener la expresión de å_n n xⁿ y å_n n²xⁿ como función racional.

B) Resolver la siguiente ecuación de recurrencia f_n+2-6f_n+1+9f_n=3ⁿ,    n ³ 1 con f₁=1, f₂=2.

C) Calcular la función generatríz de la ecuación de recurrencia anterior.
 

Ejercicio 3: (2 puntos) A) Aplicar el algoritmo de Berlekamp para descomponer el polinomio x² - 2 en Z/Z7.

B) ?`Cuál sería el resultado de aplicar dicho algoritmo a x² - q en Z/Zp con p,q primos entre sí? Ayuda: Puede ser útil estudiar los casos según se dé o no la igualdad q^[(p-1)/2] º 1 módulo p.
 

Ejercicio 4: (2 puntos) Responder a las cuestiones siguientes:

1). Resolver la ecuación [1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,x]=x, donde lo encerrado entre corchetes significa la fracción continua de esos argumentos.

2). El siguiente sistema de ecuaciones tiene como coeficientes congruencias módulo 19. Para las respuestas siempre se usarán las representaciones de las congruencias como enteros entre 0 y 18. Discutir su compatibilidad o incompatibilidad según los valores de los parámetros a y b y resolverlo cuando se pueda.

x  +  2y  + z  = 1 x + 18y + 17z  = 5 x + 5y + az = b

3). Sean a ³ 3 y d ³ 1, d < a, enteros; hallar el mayor entero b tal que a > b y m.c.d (a,b)=d.

4). Sea Q_m un cumulante con m argumentos, de los cuales n son iguales a la indeterminada x (por supuesto, n £ m) y m-n son enteros positivos. Entonces Q_m es un polinomio en x. Razonar cuál es su grado.

Nota: En la corrección de las cuestiones números tres y cuatro se dará importancia fundamental al razonamiento hecho.
 

Ejercicio 5: (2 puntos) Sea l=[n₁,¼,n_r] una lista de números enteros no nulos. Hacer un procedimiento MAPLE que, dada l, devuelva la lista formada por todas las listas [d₁,¼,d_r] tales que d_i divide a n_i para todo i=1,¼,r.