Álgebra Lineal 
4 de Diciembre de 2001

Ejercicio 1 (2,5 puntos) En el espacio vectorial R4, se consideran las variedades:
L1:2x1-x2+x4=0, x1+2x3=0,
L2:á(-2,4,1,0),(-2,-3,1,1),(1,1,1,0)ñ.
Se pide:

  1. Hallar unas ecuaciones implícitas independientes y una base de L1ÇL2.
  2. Hallar una variedad complementaria de L1. ¿Es única?
  3. Determinar un endomorfismo de R4, cuyo núcleo sea L2. ¿Es único?
Ejercicio 2 (2,5 puntos)). Sea V un espacio vectorial sobre R y B={u1,u2,u3} una base de V. Sea
j:V×V ® R
una forma bilineal sobre V definida por:
j(up,uq)= ì
í
î
ip+q
si
p+q 
es par
ip+q+1
si
p+q 
es impar
       (i2=-1).
Se pide:
  1. Demostrar que j es simétrica.
  2. Calcular la matriz de j respecto de B.
  3. Hallar las coordenadas respecto de B de un vector x Î V\{0} tal que j(x,x)=0.
  4. Sea A=MB(j), hallar una matriz diagonal S con 1, -1 ó 0 en dicha diagonal y que sea congruente con A.

  5. Nota. De no haber respondido al apartado 2, tómese
    A= æ
    ç
    ç
    ç
    è
    -
    -
    -
    -1
    ö
    ÷
    ÷
    ÷
    ø
    .
Ejercicio 3 (2,5 puntos). Consideremos la sucesión definida por
u0 = a, u1 = b, un = 6 un-1- 9 un-2, n ³ 2.
Sean
vn æ
ç
è
un+1
un
ö
÷
ø
, A =  æ
ç
è
-
ö
÷
ø
.
  1. Probar que para n ³ 1 se tiene que vn = A vn-1 y vn = An v0.
  2. Calcular J la forma canónica de Jordan de A y una matriz de paso P. Deducir que
  3. Jn æ
    ç
    è
    3n
    n 3n-1
    3n
    ö
    ÷
    ø
    .
  4. Usando los apartados anteriores, probar que un = 3n-1 (n b+ 3a(1-n)), n ³ 0.
Ejercicio 4 (2,5 puntos). En el espacio vectorial V = R4 consideremos el endomorfismo f definido, respecto a la base canónica, por la matriz
A =  æ
ç
ç
ç
ç
ç
è
-
15 
-
-
10 
-
-
ö
÷
÷
÷
÷
÷
ø
.
Sabemos que det(lI - A) = (l-1)4, ker(id - f) = á(3,1,2,-1), (1,0,2,0), (0,1,-5,0) ñ.
  1. Calcular J la forma canónica de Jordan de A y una base canónica.
  2. Calcular una base de V respecto de la cual la matriz de f sea Jt.