Álgebra Lineal
4 de Diciembre de 2001
Ejercicio 1
(2,5 puntos)
En el espacio vectorial
R
4
, se consideran las variedades:
L
1
:2x
1
-
x
2
+x
4
=0, x
1
+2x
3
=0,
L
2
:
á
(
-
2,4,1,0),(
-
2,
-
3,1,1),(1,1,1,0)
ñ
.
Se pide:
Hallar unas ecuaciones implícitas independientes y una base de L
1
Ç
L
2
.
Hallar una variedad complementaria de L
1
. ¿Es única?
Determinar un endomorfismo de
R
4
, cuyo núcleo sea L
2
. ¿Es único?
Ejercicio 2
(2,5 puntos))
. Sea V un espacio vectorial sobre
R
y
B
={
u
1
,
u
2
,
u
3
} una base de V. Sea
j
:V×V
®
R
una forma bilineal sobre V definida por:
j
(
u
p
,
u
q
)=
ì
í
î
i
p+q
si
p+q
es
par
i
p+q+1
si
p+q
es
impar
(i
2
=
-
1).
Se pide:
Demostrar que
j
es simétrica.
Calcular la matriz de
j
respecto de
B
.
Hallar las coordenadas respecto de
B
de un vector
x
Î
V\{
0
} tal que
j
(
x
,
x
)=0.
Sea A=
M
B
(
j
), hallar una matriz diagonal S con 1, -1 ó 0 en dicha diagonal y que sea congruente con A.
Nota
. De no haber respondido al apartado 2, tómese
A=
æ
ç
ç
ç
è
-
1
1
1
1
1
-
1
1
-
1
-
1
ö
÷
÷
÷
ø
.
Ejercicio 3
(2,5 puntos)
. Consideremos la sucesión definida por
u
0
=
a
, u
1
=
b
, u
n
= 6 u
n
-
1
-
9 u
n
-
2
, n
³
2.
Sean
v
n
=
æ
ç
è
u
n+1
u
n
ö
÷
ø
, A =
æ
ç
è
6
-
9
1
0
ö
÷
ø
.
Probar que para n
³
1 se tiene que
v
n
= A
v
n
-
1
y
v
n
= A
n
v
0
.
Calcular J la forma canónica de Jordan de A y una matriz de paso P. Deducir que
J
n
=
æ
ç
è
3
n
n 3
n
-
1
0
3
n
ö
÷
ø
.
Usando los apartados anteriores, probar que u
n
= 3
n
-
1
(n
b
+ 3
a
(1
-
n)), n
³
0.
Ejercicio 4
(2,5 puntos)
. En el espacio vectorial V =
R
4
consideremos el endomorfismo f definido, respecto a la base canónica, por la matriz
A =
æ
ç
ç
ç
ç
ç
è
-
5
15
3
3
-
2
6
1
1
-
4
10
3
2
2
-
5
-
1
0
ö
÷
÷
÷
÷
÷
ø
.
Sabemos que det(
l
I
-
A) = (
l-
1)
4
, ker(id
-
f) =
á
(3,1,2,
-
1), (1,0,2,0), (0,1,
-
5,0)
ñ
.
Calcular J la forma canónica de Jordan de A y una base canónica.
Calcular una base de V respecto de la cual la matriz de f sea J
t
.