Álgebra lineal 

Convocatoria de Febrero (7-2-03) 

Ejercicio 1 (2 puntos). Dado el sistema dependiente de los parámetros a,  b y c,
ì
ï
í
ï
î
x1
+ 
x2
+ 
x3
+ 
x4
= 
4 
x1
-
x2
+ 
x3
-
x4
= 
0 
ax1
+ 
2 x2
+ 
bx3
+ 
2 x4
= 
c
Se pide:

  1. Calcular los valores de a,  b y c para los cuales el sistema es compatible.
  2. Resolverlo para a=b=1 y c=6.
  3. Igualmente, para a=b=1 sean A y A¢, respectivamente, la matriz de los coeficientes del sistema y su forma reducida por filas. Calcular una matriz de paso P tal que A¢=PA.
Ejercicio 2 (2,5 puntos) Sean L1 y L2 variedades lineales de R3 cuyas ecuaciones paramétricas respecto de una base B, son:
L1 º ì
ï
í
ï
î
x1
= 
0 
x2
= 
l
x3
= 
m
       L2 º ì
ï
í
ï
î
x1
= 
l
x2
= 
0 
x3
= 
m
Sea f ÎEnd(R3) tal que f(u1)=v1,  f(u2)=v2,    f(u3)=0   donde las coordenadas de v1 y de v2 respecto de B son, respectivamente, (1,1,1) y (1,0,0). Se pide:
  1. Calculas unas ecuaciones implícitas y bases de las variedades L1, L2 y de L1ÇL2 y probar que R3 no es suma directa de L1 y L2.
  2. Si L y L¢ son subvariedades de L1, distintas de {0} y de L1 y distintas entre sí, demostrar que L1=LÅL¢.
  3. Dar unas ecuaciones de f respecto de B y unas ecuaciones implícitas independientes de ker(f).
  4. Construir una base del espacio vectorial R3/ker(f) y un isomorfismo de R3/ker(f) en img(f).
Ejercicio 3 (2,5 puntos). Dada la matriz
A= æ
ç
ç
ç
ç
ç
è
1 
0 
0 
0 
0 
1 
0 
0 
0 
2 
-1 
0 
0 
1 
-1 
-a
ö
÷
÷
÷
÷
÷
ø		 ,
  1. Calcular los valores de a para los cuales la matriz A es diagonalizable.
  2. Para a=0, calcular la forma diagonal D de A así como una matriz de paso P tal que D=P-1AP.
Ejercicio 4 (3 puntos). En el espacio vectorial R3 se considera la forma bilineal simétrica j cuya matriz, respecto de cierta base B, es:
MB(j) =  æ
ç
ç
ç
è
a 
1 
1 
1 
a 
1 
1 
1 
a
ö
÷
÷
÷
ø		 .
Se pide:
  1. Para a=1, dada la variedad L º x+y+z=0, calcular, respecto de j, las ecuaciones de las variedades L^ y (L^)^. ¿Es V=LÅL^?. ¿Es (L^)^=L?. ¿Por qué?.
  2. Para a=1, probar que si BL es una base de L, entonces para todo v Î R3\L, se verifica que BLÈ{v} es una base ortogonal de R3 que diagonaliza j.
  3. Para a=2, calcular por el método de Gram-Schmidt, una base ortonormal de R3, respecto de j.