Álgebra lineal
Convocatoria de septiembre
(1-09-03)
Ejercicio 1
(2.5 puntos)
. Se considera el sistema lineal
æ
ç
ç
ç
è
a
b
c
c
b
0
0
1
0
ö
÷
÷
÷
ø
æ
ç
ç
ç
è
x
1
x
2
x
3
ö
÷
÷
÷
ø
=
æ
ç
ç
ç
è
a
a
a
ö
÷
÷
÷
ø
, a, b, c
Î
R
.
Se pide:
Calcular los valores de a,b y c para los cuales el conjunto de las soluciones del sistema dado sea un espacio vectorial de dimensión 1.
Para a=0, sea A la forma reducida por filas de la matriz, S, de los coeficientes del sistema. Calcular la matriz P tal que A=PS
Ejercicio 2
(2.5 puntos)
. Sea V el
R
espacio vectorial
R
4
y sean L y L
¢
subvariedades lineales de V de ecuaciones implícitas
L
º
x
1
=0, L
¢
º
x
4
=0.
Se pide:
Probar que L
È
L
¢
no es un subespacio vectorial de V.
Hallar unas ecuaciones paramétricas de L+L
¢
y de L
Ç
L
¢
.
Hallar sendas bases de los espacios vectoriales V/L y V/L
Ç
L
¢
y probar que dichos espacios no son isomorfos.
Ejercicio 3
(
2.5 puntos)
Un endomorfismo f de
R
3
viene dado por la matriz:
A=
é
ê
ê
ê
ë
3
-
2
0
-
2
3
0
0
0
5
ù
ú
ú
ú
û
.
Dadas las variedades L
1
º
z=0 y L
2
º
x
-
y=0, calcular f(L
1
Ç
L
2
) y f(L
1
+L
2
), así como las dimensiones de ker(f), img(f).
Averiguar si el endomorfismo f es diagonalizable y hallar, en su caso, una base respecto de la cual la matriz de f sea diagonal.
Ejercicio 4
(2.5 puntos)
. Sea V el espacio vectorial de los polinomios de coeficientes reales de grado menor o igual que 2. Es decir,
V={p(x)=a
0
+a
1
x+a
2
x
2
| a
i
Î
R
}.
Sea
j
la aplicación
j
:V×V
®
R
definida por
"
p(x),q(x)
Î
V,
j
æ
è
p(x),q(x)
ö
ø
=p(0)q(0),
donde p(0) es valor numérico del polinomio p(x) para x=0.
Se pide:
Probar que
j
es una forma bilineal simétrica sobre V.
Sea
B
={1, x
-
1, x
2
+1} una base de V. Probar que
M
B
(
j
) =
æ
ç
ç
ç
è
1
-
1
1
-
1
1
-
1
1
-
1
1
ö
÷
÷
÷
ø
y calcular una base ortogonal,
B
¢
de V, respecto de la cual
M
B
¢
(
j
) sea diagonal.
Probar que el polinomio p(x)=2x+x
2
es ortogonal, respecto de
j
, a todos los polinomios de V (tómese
B
como base de V).