Álgebra lineal

Convocatoria de septiembre (1-09-03) 

 
Ejercicio 1 (2.5 puntos). Se considera el sistema lineal

æ
ç
ç
ç
è
0
ö
÷
÷
÷
ø
æ
ç
ç
ç
è
x1
x2
x3
ö
÷
÷
÷
ø
æ
ç
ç
ç
è
a
ö
÷
÷
÷
ø
,    a,  b, c Î R.
Se pide:
  1. Calcular los valores de a,b y c para los cuales el conjunto de las soluciones del sistema dado sea un espacio vectorial de dimensión 1.
  2. Para a=0, sea A la forma reducida por filas de la matriz, S, de los coeficientes del sistema. Calcular la matriz P tal que A=PS
Ejercicio 2 (2.5 puntos). Sea V el R espacio vectorial R4 y sean L y L¢ subvariedades lineales de V de ecuaciones implícitas
L º x1=0,     L¢ º x4=0.
Se pide:
  1. Probar que LÈL¢ no es un subespacio vectorial de V.
  2. Hallar unas ecuaciones paramétricas de L+L¢ y de LÇL¢.
  3. Hallar sendas bases de los espacios vectoriales V/L y V/LÇL¢ y probar que dichos espacios no son isomorfos.
Ejercicio 3 (2.5 puntos) Un endomorfismo f de R3 viene dado por la matriz:
A= é
ê
ê
ê
ë
-
-
ù
ú
ú
ú
û
.
  1. Dadas las variedades L1 º z=0 y L2 º x-y=0, calcular f(L1ÇL2) y f(L1+L2), así como las dimensiones de ker(f), img(f).
  2. Averiguar si el endomorfismo f es diagonalizable y hallar, en su caso, una base respecto de la cual la matriz de f sea diagonal.
Ejercicio 4 (2.5 puntos). Sea V el espacio vectorial de los polinomios de coeficientes reales de grado menor o igual que 2. Es decir,
V={p(x)=a0+a1x+a2x2 | ai Î R}.
Sea j la aplicación
j:V×V® R
definida por
"p(x),q(x) Î V,    j æ
è
p(x),q(x) ö
ø
=p(0)q(0),
donde p(0) es valor numérico del polinomio p(x) para x=0.
Se pide:
  1. Probar que j es una forma bilineal simétrica sobre V.
  2. Sea B={1, x-1, x2+1} una base de V. Probar que
  3. MB(j) =  æ
    ç
    ç
    ç
    è
    -
    -
    -
    -
    1
    ö
    ÷
    ÷
    ÷
    ø
    y calcular una base ortogonal, B¢ de V, respecto de la cual MB¢(j) sea diagonal.
  4. Probar que el polinomio p(x)=2x+x2 es ortogonal, respecto de j, a todos los polinomios de V (tómese B como base de V).