Álgebra lineal

(Diciembre de 2000)

Ejercicio 1 . Sean B1 = { u1,u2,u3,u4} y B2 = {v1,v2,v3, v4 } bases del R-espacio vectorial V, con

v1 = 
-u2
-u4
v2 = 
-3u1
-5u2
-3u4
v3 = 
-3u3
v4 = 
4u1
+7u2
+5u4
Definimos W como el conjunto de vectores de V cuyas coordenadas respecto de B1 son iguales a sus coordenadas respecto a B2, es decir, W = { x Î V |xB1 = xB2 }.
  1. Probar que W es una variedad lineal, calcular su dimensión y hallar una base.
  2. Sean B*1, B*2 las bases duales de B1, B2. Calcular los elementos de B*2 en función de los de B*1.
  3. Consideremos la variedad definida respecto a la base B1
    4. L º ì
    ï
    í
    ï
    î
    x1
    +x2
    -2x4
    = 0 
    x3
    = 0
    x1
    -x2
    = 0 
    Probar que L Ì W y calcular un sistema de ecuaciones implícitas de w(L) respecto a B*2.
Ejercicio 2. Consideremos la matriz
A =  æ
ç
ç
ç
ç
è
a 
a 
0 
0 
0 
a 
-2a+1 
-2a+1
0 
0 
1 
0 
0 
0 
0 
1
ö
÷
÷
÷
÷
ø		 ,     a ÎR.
  1. Calcular la forma canónica de Jordán de la matriz A según los valores de a.
  2. Determinar razonadamente una matriz de paso a la forma canónica de Jordán según los valores de a.
Ejercicio 3. Se considera el espacio vectorial
V =  ì
í
î		 æ
ç
è
a 
b 
0 
c
ö
÷
ø		 : a,b,c ÎR ü
ý
þ		 Ì M(2×2, R)
y la aplicación j:V×V ®R definida por j(X, Y) = Tr(X ·Yt)
  1. Demostrar que j es una forma bilineal, y que (V,j) es un espacio vectorial euclídeo.
  2. Se considera la base de V,
    3. C =  ì
    í
    î    		 U1 =  æ
    ç
    è
    1 
    0 
    0
    0
    		ö
    ÷
    ø    		 , U2 =  æ
    ç
    è
    0 
    1 
    0 
    0
    		ö
    ÷
    ø    		 , U3 =  æ
    ç
    è
    0 
    0 
    0 
    1
    		ö
    ÷
    ø    		 ü
    ý
    þ    		 .
    ¿Es C una base ortonormal de V (respecto de j)?
  3. Consideremos ahora la base de V,
    4. B =  ì
    í
    î    		 V1 =  æ
    ç
    è
    1 
    0 
    0 
    1
    		ö
    ÷
    ø    		 , V2 =  æ
    ç
    è
    1 
    1 
    0 
    0
    		ö
    ÷
    ø    		 , V3 =  æ
    ç
    è
    0 
    1 
    0 
    1
    		ö
    ÷
    ø    		 ü
    ý
    þ    		 .
    Calcular la matriz de j respecto de B.
  4. Supongamos que:
    5. MB(j) =  æ
    ç
    ç
    ç
    è
    2 
    1 
    1 
    1 
    2 
    1 
    1 
    1 
    2
    		ö
    ÷
    ÷
    ÷
    ø
    Calcular una base de V respecto de la cual la matriz de j sea diagonal.

    Nota: Se recuerda que si A y B son matrices cuadradas de orden: Tr(A)=a11+...+ann,  Tr(A+B)=Tr(A)+Tr(B),  Tr(lA)=lTr(A),  Tr(AB)=Tr(BA).