Ejercicio 1

1. Sea A una matriz cuadrada de orden n. Probar que A y A^t tienen los mismos autovalores.
2. Sea V un R espacio vectorial de dimensión 5, B una base y f:V ® V el endomorfismo cuya matriz respecto de B es

A =  æ ç ç ç ç ç ç è 3  -1  0  2  1  1  2  0  1  1  1  -2  3  3  2  -2  3  0  -1  -3  4  -5  0  6  8  ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø .

Tiene un autovalor l₁ de multiplicidad 5, y

V1 = ker(l1 id - f) = L((1,2,0,1,0),(0,0,1,0,0),(0,1,0,0,1)),

V2 = ker(l1id -f)2 = L((-3,0,0,1,0),(-2,0,0,0,1),(2,1,0,0,0),(2,1,-1,0,0)),

V3 = ker(l1 -f )3 = L((3,1,1,-2,4),(-1,2,-2,3,-5),(0,0,3,0,0),(2,1,3,-1,6),(1,1,2,-3,8)).

Calcular la forma canónica de A y una base canónica { v₁,v₂, v₃, v₄, v₅ }.
3. Sea J la forma canónica de A. Mediante permutaciones de filas y columnas (transformaciones elementales de tipo 3), probar que J y J^t son semejantes. Deducir que A y A^t tienen la misma forma canónica.

 

 

1. Sea V un espacio vectorial de dimensión finita sobre R y f Î End(V). Probar las dos proposiciones siguientes:
1. Si V es de dimensión impar, entonces ker(f) no puede coincidir con Im(f).
2. Si dim(V) = 2n, ker(f) = Im(f) si y sólo si se verifican las condiciones: f² = 0 y dim(Im(f)) = n.
2. En el espacio vectorial R⁴ sobre R se consideran las variedades lineales:

L1 = {(x,y,z,t)|x+y+z+t = 0,x-y+z-t = 0}

L2 = á(-1,-2,1,2),(1,1,1,-1) ñ

1. Hallar un subespacio L₃ tal que R⁴ = L₁ ÅL₃.¿Es único?
2. Hallar: dim(L₁+L₂), dim(L₁ÇL₂), dim (R⁴/L₂)
3. Dar una respuesta razonada a las siguientes cuestiones:
1. ¿Existen aplicaciones lineales f:R⁴® R³ inyectivas?.
2. ¿Existen aplicaciones lineales f:R³® R⁴ inyectivas?.

 

 

1. Sea V un R-espacio vectorial y B = {u₁, u₂, u₃, u₄} una base de V. Sea f:V×V ® R la forma bilineal cuya matriz, respecto de la base B es:

A = (aij)     con     aij = (i-2)(j-2)

1. ¿Es f es simétrica? ¿Es f un producto escalar?
2. Probar que los vectores de coordenadas (0,b,0,0), respecto de B, son ortogonales a todos los vectores de V. ?`Son los únicos con dicha propiedad. Razonar la respuesta.
3. Calcular una matriz diagonal D y una matriz invertible P tales que D = P^tAP.
2. (Este apartado puede resolverse independientemente del anterior)


Sea (V,·) un espacio vectorial euclídeo y B una base ortonormal de V y f Î End(V) tal que su matriz respecto de la base B es A (la definida en el apartado anterior).

1. Calcular la forma canónica de A sabiendo que v = (-1,0,1,2) es un autovector de f.
2. Calcular una base canónica ortonormal de V para f.