Ejercicio 1. (4 puntos) Sea V un C-espacio vectorial de dimensión finita y f Î End(V).

1. Probar que f es isomorfismo si y solamente si f no tiene el autovalor cero.
2. Si j es un entero positivo, notamos f^j la composición j veces de f. Probar que f es isomorfismo si y solamente si f^j es isomorfismo para todo j.
3. Sea g Î End(V) tal que fg = gf. Probar que (fg)^j = f^j g^j.
4. Sea l autovalor de f, con f isomorfismo. Probar que ker(l id - f)^j = ker(1/l id - f^-1)^j, para todo entero positivo j. (f^-1 es la función inversa de f).
5. Sea V un C-espacio vectorial de dimensión 5, B = {u₁, u₂, u₃, u₄, u₅ } una base y f Î End(V) dado por la matriz:

A =  æ ç ç ç ç ç ç è -1  2  4  2  0  0  0  5  3  0  0  -2  -5  -2  0  0  3  6  2  0  0  0  0  0  -1 ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø

respecto de la base B. Tiene un único autovalor l₁ = -1 de multiplicidad 5, y

V₁ = ker(l₁ id - f) = L((1,0,0,0,0),(0,0,0,0,1),(0,-1,2,-3,0))

V₂ = ker(l₁ id -f)² = L((0,1,0,0,0),(1,0,0,0,0),(0,0,0,0,1),(0,0,2,-3,0))

V₃ = ker(l₁ id - f)³ = V.

Calcular la forma canónica de f y una base canónica.

6. Utilizando el resultado del apartado 4), calcular la forma canónica de A^-1.

• En el espacio vectorial R² sobre R se consideran las variedades lineales:

L1 = {(x,y)|ax+by = 0}; L2 = {(x,y)|cx+dy = 0}, con a,b,c,d Î R

Hallar la condición necesaria y suficiente que han de cumplir a,b,c,d para que R² = L₁ ÅL₂.
• Si V es espacio vectorial de dimensión 6, y L₁ y L₂ son 2 subespacios distintos de dimensión 4, hallar las dimensiones posibles de L₁ ÇL₂.
• En R⁴, se consideran las variedades lineales:

L1 = < (1,1,1,1),(1,-1,1,-1) > ; L2 = < (1,1,0,1),(1,2,-1,2),(3,5,-2,5) >

Hallar:
1. dim(L₁+L₂), dim (L₁ÇL₂), dim (\Bbb R⁴/L₂)
2. Ecuaciones implícitas de (L₁+L₂).
3. Dada p: R⁴® R⁴/L₁, definida por p(x) = x+L₁, probar que es un homomorfismo suprayectivo, y hallar una base de  R⁴/L₁

1. ¿Es j una forma bilineal simétrica?.
2. ¿Es j un producto escalar?.
3. ¿Qué elementos de B son ortogonales respecto de j?.
4. Hallar la matriz de j respecto de B y encontrar una base ortogonal B¢, respecto de la cual la matriz de j sea una matriz diagonal.
5. Sea L = L(u₁, u₂) y L^{^} la variedad ortogonal. Determinar si R⁴ = LÅL^{^}, y si (L^{^})^{^} = L.