Ejercicio 1. Sean V y V¢ espacios vectoriales sobre R, B = {u₁,u₂,u₃,u₄} y B = {u¢₁,u¢₂,u¢₃} bases de V y V¢ respectivamente. Sea f Î Hom(V,V¢) la aplicación lineal definida por:

1. Hallar la matriz de f respecto de las bases B y B¢.
2. Calcular un sistema de ecuaciones paramétricas e implícitas de ker(f) y la dimensión de img(f).
3. Sea B₁ = {(u₁+u₂)+ker(f), (u₁-u₂)+ker(f)} Ì V/ker(f). Probar que es base de V/ker(f) y calcular las coordenadas del vector v = (u₁+u₂+ u₃+u₄) + ker(f) respecto de B₁.

1. Hallar la matriz M del producto escalar, respecto de la base B.
2. Calcular los valores de a para los cuales la matriz

R =  æ ç ç ç è 1  0  0  0  a a 0  a 3 ö ÷ ÷ ÷ ø

es la matriz respecto de B de un producto escalar sobre V.
3. Para a = 1, calcular por el método de Gram-Schmidt una base ortonormal de V a partir de la base B dada.
4. En lo que sigue, tomamos a = 1. Se considera la variedad L de V, cuya ecuación en la base B es:

L º 2x1-3x2+5x3 = 0

1. Hallar las ecuaciones de la variedad L¢ tal que L¢^L. Comprobar que V = LÅL¢
2. ¿Es L¢ la única variedad de V que verifica la condición anterior?. Si la respuesta es negativa, calcular las ecuaciones de otra.
3. Razonar si existe una base de V formada por vectores que no pertenezcan a L.

1. Calcular la forma canónica de Jordan de la matriz A según los valores de a,b.
2. Determinar razonadamente una matriz de paso a la forma de Jordan para los casos
1. a = b = 0.
2. a = 1, b = 0.