Álgebra Lineal
Examen de Septiembre.(15-09-1999)

Ejercicio 1 (2,5 puntos). Se considera la aplicación f: IR3 ® IR3, definida por:

f(a,b,c) = (a+b,a+b,a+c).

Se pide:

  1. Probar que f es un endomorfismo de IR 3 y decidir si es inyectivo.
  2. Calcular las matrices de f y de f2 respecto de la base canónica de IR3.
  3. Sea L = á(1,0,1),(0,1,1) ñ. Calcular las ecuaciones de ker(f), f--1(L) y f2(L).
  4. Calcular, respecto de las bases que se dan, las matrices de los homomorfismos que intervienen en la factorización canónica de f, siendo B1 la base canónica de IR3, B2 = {(1,1,0)+ker(f), (1,-1,0)+ker(f)} base de IR3/ker(f), B3 = {(1,1,1), (0,0,1)} base de Im(f).

    5.  
Ejercicio 2 (2,5 puntos). Se considera el IR-espacio vectorial V = IR4. Sea B = { u1, u2, u3, u4} donde:
u1 = (1,0,-1,0), u2 = (0,1,0,-1), u3 = (0,0,1,0),u4 = (0,0,0,1)

Sea V* el espacio vectorial dual de V y x*1, x*2 Î V*, definidos por:

x*1(a,b,c,d) = 2a-b+c-d
x*2 = 2 u*1- u*2+ u*3 + u*4
donde B* = { u*1, u*2, u*3, u*4} es la base dual de B. Se pide:
  1. Si x = (x1,x2,x3,x4) respecto de la base canónica de IR4, calcular ui*(x), para i = 1,2,3,4.
  2. Si L = á(1,1,-1,-1),(1,0,-1,1) ñ (con respecto a la base canónica), calcular las ecuaciones de L respecto de la base B y un sistema de ecuaciones implícitas de w(L) respecto de la base B*.
  3. Si E* = áx*2ñ, calcular, respecto de B*, un sistema de ecuaciones de w(E*) y de w(L+w(E*)).
  4. Calcular las coordenadas de x*1 respecto de la base B*.

    5.  
Ejercicio 3 (2,5 puntos) Sea V un C espacio vectorial de dimensión 5, B = { u1, u2, u3, u4, u5 } una base y f Î End(V) dado por la matriz
æ
ç
ç
ç
ç
ç
ç
è
2 
4 
-4 
8 
-20 
-1 
0 
2 
-8 
11 
-1 
-4 
6 
-12 
39 
0 
-1 
1 
0 
2 
0 
0 
0 
0 
-2
ö
÷
÷
÷
÷
÷
÷
ø
respecto de la base B. Un autovalor es l1 = 2, de multiplicidad 4, y

V1 = ker(l1 id -f) = á(0,1,1,0,0), (-4,-2,0,1,0)ñ

V2 = ker(l1 id - f)2 = á(1,0,0,0,0),(0,1,0,0,0),(0,0,1,0,0),(0,0,0,1,0) ñ

Calcular la forma canónica de f y una base canónica.
 

Ejercicio 4 (2,5 puntos) Sea (V,·) un IR espacio vectorial euclídeo de dimensión 4, B = { u1, u2, u3, u4 } una base ortonormal de V, y consideremos los vectores v1 = (1,1,0,1), v2 = (0,-1,1,1), w1 = (-1,2,1,1), w2 = (0,0,-1,1).

  1. Sean L1 = áv1, v2 ñ, L2 = áw1, w2ñ. Probar que V = L1 ÅL2.
  2. Calcular unas bases ortonormales B1 = { a1, a2 }, B2 = { b1, b2 } de las variedades L1 y L2, respectivamente.
  3. Probar que B¢ = { a1, a2, b1, b2 } es una base de V no ortonormal.
  4. Sea f1: L1 ® L1 el endomorfismo definido por la matriz
    5. A1 =  æ
    ç
    è
    1 / Ö2 
    -1 / Ö2 
    1 / Ö2 
    1 / Ö2
    		ö
    ÷
    ø
    respecto a la base B1, y f2: L2 ® L2 el endomorfismo definido por la matriz
    A2 =  æ
    ç
    è
    0 
    -1 
    1 
    0 
    		ö
    ÷
    ø
    respecto a la base B2, y sea f Î End(V) definido por f(v) = f1(v1) + f2(v2), donde v = v1+ v2, con v1Î L1, v2Î L2. Probar que la matriz de f respecto a la base B¢ es
    æ
    ç
    è
    A1
    0 
    0 
    A2
    		ö
    ÷
    ø    		 .
    ¿Es f un endomorfismo ortogonal?
    On 19 Oct 1999, 13:31.