Álgebra lineal

Ejercicio 1 (4 puntos).

1. Sean L y L¢ variedades lineales de R³ tales que dim(L)=1 y dim(L¢)=2. Probar que si L Ë L¢, entonces R³=LÅL¢.
2. Se consideran las siguientes variedades de R³:

L1=L((1,1,0),(1,1,1),(-3,-3,-4)),

L2 º ì ï í ï î x1+2x2-x3 =  0  x1         + x3 =  0  2x1+5x2-3x3 =  0     L3 º ì ï í ï î x1 =  -l+ m x2 =  l+ m x3 =  l

Hallar
1. Un sistema de ecuaciones implícitas independientes de L₁ÇL₂ y de L₂ÇL₃.
2. Bases respectivas de L₁+ L₂ y de L₁+L₃.
3. Unas ecuaciones paramétricas de L₂+L₃.
3. Consideremos el homomorfismo f:: R³®R⁴, definido por:

f(u1)  =  v1 +  v3 f(u2)  =  v2 v4 f(u3)  =  v1 +  v2 +  v3 +  v4

donde B={u₁,u₂,u₃} y B¢={v₁,v₂,v₃,v₄} son bases, respectivamente, de  R³ y de  R⁴.
Se pide:
1. Un sistema de ecuaciones implícitas independientes deimg (f) y ker(f).
2. Una base de f(L₁), donde L₁ es la variedad definida en el apartado 2).
3. Calcular la variedad f^-1(L((1,0,0,0),(0,1,0,0))).

(a) Hallar una base C de V tal que M_C(j) sea diagonal, con sólo 1, -1 ó 0 en la diagonal.

(b) Determinar todas las posibles matrices diagonales con sólo 1, -1 ó 0 en la diagonal que sean la matriz de j respecto de alguna base. Para cada posible matriz A, dar una base D tal que A = M_D (j).

Ejercicio 3 (3 puntos). Dadas la matrices

A =  æ ç ç ç ç ç ç ç è a  0  0  0  0  1  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  1  0  0  0  0  0  1  0 ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ,     B =  æ ç ç ç ç ç ç ç è 0  0  0  0  0  1  0  0  0  0  0  0  a  0  0  0  0  1  0  0  0  0  0  1  0 ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø

se pide:

1. Para a=1, averiguar, razonadamente, si son semejantes o no las matrices A y B.
2. Para a=0, calcular la forma canónica de Jordan, J₁, de la matriz A así como una matriz de paso P₁, tal que J₁=P₁^-1AP₁.
3. Para a=1, calcular igualmente la forma canónica de Jordan, J₂ de B así como una matriz de paso P₂, tal que J₂=P₂^-1AP₂.

   ---