Álgebra lineal

Convocatoria de febrero (6-02-02) 

Ejercicio 1 (3 puntos). Sean V1 y V2 dos espacios vectoriales sobre R; B1 = { u1,u2,u3 } y B2 = { v1,v2,v3,v4 }, bases de V1 y V2 respectivamente. Sean, así mismo,
L1 = L((-6,2,2)) Ì V1,     L2: { x1-x2+2x4=0 } Ì V2,
y f : V1 ® V2 el homomorfismo dado por
f(u1) 
= 
v1
+ 
2v2
+ 
v4
f(u2) 
= 
v1
+ 
v2
+ 
v3
f(u3) 
= 
2v1
+ 
5v2
-
v3
+ 
3v4
Se pide:

    a) Calcular unas ecuaciones implícitas y paramétricas de ker(f) y de Im(f).
    b) Calcular una base y unas ecuaciones implícitas de las variedades lineales L = L1Çker(f) y L¢ = L2 + Im(f).
    c) Hallar una base de f-1 (L¢) y unas ecuaciones implícitas de f-1 (L2). Estudiar si la suma f-1(L¢) + f-1 (L2) es una suma directa.
    d) Dar, razonadamente, bases de los dos espacios vectoriales cocientes siguientes: V1/ker(f) y V2/Im(f). Demostrar que V1/ker(f) @ V2/Im(f).
Ejercicio 2 (3,5 puntos). Sea V un R-espacio vectorial de dimensión 4, B una base fijada cualquiera de V y j una forma bilineal simétrica definida sobre V tal que
MB (j) =  æ
ç
ç
ç
ç
ç
è
1 
2 
0 
-1
2 
1 
1 
0 
0 
1 
0 
0 
-1 
0 
0 
0
ö
÷
÷
÷
÷
÷
ø		 .
Se considera el subespacio L Ì V dado por
L: x1 - x4 = 0.
  1. Hallar una base BL de L tal que la matriz de j|L×L sea diagonal. Se recuerda que
    2. j|L ×L: L ×L 
    ®
    R
    (u,v) 
    ®
    j(u,v)
  2. Probar que para todo v Î L^, BLÈ{v} es una base de V que diagonaliza a j.
  3. Probar que para todo v Î L^, j(v,v) ¹ 0.
Ejercicio 3 (3,5 puntos). Sea V un espacio vectorial sobre C de dimensión 5, B={u1,u2,u3,u4,u5} una base de V y f ÎEnd(V). Se pide:
  1. Sea V1 Ì V2 ̼ la sucesión de subespacios asociados al único autovalor l = 0 de f. Se sabe que n1=dim(V1)=2. Calcular las posibles formas canónicas de Jordan de f.
  2. El endomorfismo f verifica que f2 ¹ 0 y f3=0. Probar que f tiene únicamente el autovalor l = 0.
  3. Sea A=MB(f), la matriz de f respecto de B, donde
    4. A= æ
    ç
    ç
    ç
    ç
    ç
    ç
    ç
    è
    0
    0
    1
    0
    0
    -1
    0
    0
    1
    0
    0
    -1
    0
    0
    1
    0
    0
    1
    0
    0
    -1
    0
    0
    1
    0
    		ö
    ÷
    ÷
    ÷
    ÷
    ÷
    ÷
    ÷
    ø    		 ,    A2= æ
    ç
    ç
    ç
    ç
    ç
    ç
    ç
    è
    0
    -1
    0
    0
    1 
    0
    0
    0
    0
    0 
    0
    0
    0
    0
    0 
    0
    -1
    0
    0
    1 
    0
    0
    0
    0
    0
    		ö
    ÷
    ÷
    ÷
    ÷
    ÷
    ÷
    ÷
    ø    		 ,    A3=0.
    Calcular la forma canónica de Jordan de f y una base canónica de V para f que contenga al vector (1,1,1,1,1).
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