Ejercicio 1 (3,5 puntos).

a) Sean V₁ y V₂ dos k-espacios vectoriales de dimensiones respectivas n₁ y n₂. Probar:

    a.1) (V₁ ×V₂)^* @ V₁^* ×V₂^*.

    a.2) Hom(V₁,V₂) @ V₁ ×V₂ si y sólo si V₁ @ V₂ @ k².

b) Sea V un Q-espacio vectorial de dimensión 3, B = { v₁, v₂,v₃ } una base de V. Consideramos el endomorfismo f dado, con respecto a B, por la matriz

Hallar la factorización canónica de f, considerando las siguientes bases (coordenadas tomadas siempre respecto a B):

En V/ ker(f), B₁ = { (0,1,1) + ker(f), (0,1,-1) +ker(f) }.

En Im(f), B₂ = { (3,5,2), (-1,-1,0) }.

Ejercicio 2 (3 puntos). Sea j una forma bilineal sobre R³ cuya matriz respecto de la base canónica de R³ es

1. ¿Existen valores de a, b y c para los cuales j es un producto escalar?
2. Para a = b = 1 y c = 5, calcular una base B₁ de R³ tal que M_B1(j) sea una matriz diagonal.
3. Para a = b = 1, y c = 6 calcular por el método de Gram-Schmidt una base B₂ de R³ respecto de la cual M_B2(j) sea la matriz unidad.

1. Calcular la forma canónica de A según los valores de a,b.
2. Para a = 1, b = 2 calcular una base canónica de V para f.