Álgebra lineal

Convocatoria de septiembre (6-09-02) 

 

Ejercicio 1 (4 puntos). Sean V y W dos espacios vectoriales sobre R cuyas bases, respectivamente, son
B={u1,u2,u3},   B¢={ v1,v2,v3,v4}.
Consideremos el homomorfismo f:V® W , definido por
f(u1)=v2,  f(u2)=v1,  f(u3)=0
y las variedades lineales de V y W:
L={(x,y,z) Î V | z=0} Ì V
donde (x,y,z) son las coordenadas de un vector de V respecto de B y
L¢={x1=0, x2=l, x3=m, x4=0} Ì W ,
se pide:

  1. Hallar ecuaciones implícitas y paramétricas de las siguientes variedades:
    2. img (f),  ker(f),  f(L),  f-1(L¢),  f(L)+L¢,  f-1(L¢)Çker(f).
  2. Calcular una base de los espacios vectoriales V/ker(f) y W/img(f) y definir explícitamente un isomorfismo entre dichos espacios vectoriales.
  3. Describir mediante ecuaciones implícitas dos variedades L1Ì V y L¢1Ì W tales que
    4. V=LÅL1,    W=L¢ÅL¢1.
Ejercicio 2 (2,5 puntos). Sea V un K-espacio vectorial de dimensión n, L un subespacio vectorial de V de dimensión r y sea j una forma bilineal simétrica de rango n definida sobre V.

(a) Probar que dim(L^) = n-r.

(b) Probar que L ÅL^ = V si y sólo si ningún vector de L es autoperpendicular (esto es, si y sólo si no existe v Î L\{0} tal que j(v,v)=0).

Ejercicio 3 (3,5 puntos). Dada la matriz

A =  æ
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
è
0 
a 
0 
0 
b 
a 
0 
0 
0 
0 
0 
0 
0 
a 
0 
0 
0 
a 
0 
0 
0 
0 
0 
0 
a
ö
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
ø		 ,    |lI-A|=(l-a)3(l+a)2,
se pide:
  1. Para a=1 y b=0, calcular la forma canónica de Jordan, J1, de la matriz A así como una matriz de paso P1, tal que J1=P1-1AP1.
  2. Para a=0 y b=1, calcular igualmente la forma canónica de Jordan, J2 de A así como una matriz de paso P2, tal que J2=P2-1AP2.