Ejercicio 1.- (Valor 3 ptos). Dada la matriz

a) Dar la descomposición LU de A.

b) Dar una condición necesaria y suficiente para que una matriz real sea definida positiva (en términos de sus menores principales).

c) Verificar que A es definida positiva y encontrar la descomposición de Cholesky de A.

d) ¿Por qué la descomposición de Cholesky es útil para la resolución de un sistema de ecuaciones AX = b con A simétrica definida positiva?
 

Ejercicio 2.- (Valor 2 ptos). Sea A la matriz

a) Utilizar el método de la potencia inversa para una aproximación del autovalor de A más próximo a 2, y un autovalor asociado. Nota: La solución exacta es 3-Ö3 y (Ö3-1, 2, Ö3+1)^t; partiendo de (1,0,0,)^t hacer 4 iteraciones.

b) El método de deflación de Householder permite obtener una matriz 2×2 cuyos autovalores son los otros dos autovalores desconocidos de A. Detallar este procedimiento para la matriz dada A, sin hacer cálculos.
 

Ejercicio 3.- (Valor 3 ptos).

a) Dar las posibles formas canónicas de Jordan de una matriz 4×4 real de autovalor 1 y multiplicidad 4.

b) Hallar la forma canónica de Jordan y la matriz de paso de

Ejercicio 4.- (Valor 2 ptos). Calcular la pseudosolución óptima del sistema Ax = b con