Ejercicio 1.- (Valor 3 ptos). Sea A la matriz

1. Calcule la descomposición de Cholesky de A.
2. Aproxime con tres iteraciones del método de la potencia el autovalor de mayor módulo de A. Tome x⁽⁰⁾ = (1,0,0).
3. Aproxime con una iteración el autovalor de menor módulo sin calcular ninguna inversa. Ayuda: utilice la descomposición del apartado 1.

1. Demuestre que si x ¹ 0 es un vector cualquiera, y = (l₁I - A)x es un vector con coordenada cero respecto de v⁽¹⁾.
2. Demuestre que si los autovalores cumplen |l₁| > |l₂| > |l₃| ³ ¼ ³ |l_n|, entonces al aplicar el método de la potencia con x⁽⁰⁾ = y obtenemos una sucesión que converge a l₂.

1. Sea la matriz real

A =  æ ç ç ç ç è 1 1 -1 -2  0 0  0  0  1  1  -1  -1  0 0  0  0 ö ÷ ÷ ÷ ÷ ø

Halle su forma canónica de Jordan y su matriz de paso, sabiendo que |lI-A| = l⁴.
2. Dada una matriz 6×6 real B, que tiene un autovalor complejo l = 2+i de multiplicidad 3, y cuya partición de multiplicidad es p₁ = 2 y p₂ = 1, halle sus formas canónicas compleja y real.

1. Diagonalice la siguiente matriz real B con matriz de paso ortogonal:

B =  æ ç ç ç è 1  1  1  1  1  1  1  1  1  ö ÷ ÷ ÷ ø .

2. Halle la descomposición SVD de la siguiente matriz

A =  æ ç ç ç è 1  1  1  0  0  0  0  0  0 ö ÷ ÷ ÷ ø .

Aplíquelo al cálculo de la factorización QS de A. Nota: Puede utilizarse el apartado anterior.
3. Halle la inversa generalizada A⁺ de la anterior matriz A.
4. Calcule la pseudosolución óptima del sistema de ecuaciones AX = b con la matriz anterior A y con b = (1,2,-4)^t.