ALGEBRA II 
(Primero de Estadística)

 

Ejercicio 1.- (4 pt.) De una aplicación lineal f:IR3 ® IR3 se sabe:
f(1,0,-1) = (1,1,-2), f(1,-1,0) = (0,0,a-2), f(0,1,1) = (1,1,a). Se pide:

  1. Hallar la matriz de la aplicación f en la base canónica. La matriz a que se debe llegar es:
    2. A =  æ
    ç
    ç
    ç
    è
    1 
    1 
    0
    1 
    1 
    0
    a-2 
    0 
    a
    		ö
    ÷
    ÷
    ÷
    ø
  2. ¿Para qué valores de a es diagonalizable la aplicación f?. Para dichos valores encontrar una base B en que [f,B] es diagonal.
  3. Hallar una base de N(f) e Im(f) según los valores de a.
  4. ¿Para qué valor de a es f un endomorfismo simétrico?. Para dicho valor hallar una BON D en que [f,D] es diagonal.
  5. Para a = 2, dada la variedad linea L:x+y = 0 calcular f(L) y f--1(L).
Ejercicio 2.- (2.5 pt.) Tres pueblos A,B y C tienen, cada uno, 7000 habitantes. Cada año, 1/3 de los habitantes de B se cambia a A, y 1/4 de los habitantes de B se cambia a C, quedándose los restantes en su respectivo pueblo. Hallar la matriz de transición y los habitantes de cada pueblo en el año n-ésimo. A largo plazo ¿cuántos habitantes tendrá cada pueblo?.

Ejercicio 3.- (3.5 pt.) En el espacio afín euclídeo IR4 se consideran las rectas r1 y r2 y el plano p dados por:

r1:(2,1,1,0)+ < (1,-1,0,0) > ,        r2: (1,1,1,1)+ < (1,0,-1,1) > 
p =  ì
í
î
x1
+2x2
+x3
= -2 
x1
+x3
= -2

Se pide:

  1. Estudiar las posiciones relativas de r1 y p, r1 y r2, p y r2.
  2. ¿Existe algún hiperplano que contiene a r1 y a p ? ¿Y a r1 y a r2? ¿Y a r2 y a p?. ¿Cuántos?. ¿Por qué?.
  3. Hallar la perpendicular común a r1 y p y la distancia entre ambas variedades.
    On 21 Oct 1999, 19:21.