Geometría

Examen de Diciembre 2000

Ejercicio 1 (4 puntos). Sea R = { O; u1,u2,u3 } un sistema de referencia métrico en R3, y f : R3 ® R3 la aplicación afín determinada por f(A1) = B1, f(A2) = B2, f(A3) = B3, f(A4) = B4, donde

A1 = (3,2,5), A2 = (-1,0,1),A3 = (2,-1,1),A4 = (0,-1,1) 
B1 = (-1,-2,-5),B2 = (1,2,-1),B3 = (2,-1,-1),B4 = (2,1,-1) 
  1. Probar que f es un movimiento, de matriz respecto a R igual a
    2. æ
    ç
    ç
    ç
    ç
    è
    1 
    1 
    1 
    0 
    0 
    0 
    -1 
    0 
    0 
    -1 
    0 
    0 
    0 
    0 
    0 
    -1 
    		ö
    ÷
    ÷
    ÷
    ÷
    ø    		 .
  2. Clasificar f, dando sus elementos geométricos.
  3. Consideremos los planos
    4. p1 { x-y-2 = 0     ,     p2 { x+y+z = 1 
    y definimos gi : pi ® pi como la restricción de f a pi, para i = 1,2. Probar que cada aplicación gi está bien definida, que es un movimiento en pi, y clasificarlo.
  4. Sea h : R3 ® R3 un movimiento directo, y p un plano doble para h. ¿Es posible que la restricción de h a p sea un movimiento inverso en p?
Ejercicio 2 (3 puntos). Sean M = (1,1), N = (2,2) y P = (3,0), puntos medios de los lados del triángulo ABC.
  1. Calcular las coordenadas de los vértices del triángulo.
  2. Hallar razonadamente todos los movimientos f que dejan invariantes los vértices A y B, (f(A) = A y f(B) = B), determinando sus elementos geométricos.
  3. Hallar razonadamente todos los movimientos que dejan invariante la figura formada por el segmento AB y comprobar que forman un grupo.
  4. Hallar razonadamente todos los movimientos que dejan fijos los 3 vértices.
Ejercicio 3 (3 puntos). Sea X el espacio afín euclídeo de dimensión 4. En X se consideran una recta r y dos planos p1,p2 tales que los dos planos se cortan en un único punto P y p1 contiene a r. Para cada una de las cuestiones que se plantean, describir una variedad solución, si es que existe, o dar una explicación de por qué no existe solución.
  1. Una recta t tal que la proyección de t sobre p1 paralela a p2 sea p1.
  2. Un plano p3 tal que la proyección de p3 sobre p1 paralela a p2 sea r.
  3. Un plano p4 paralelo a p2 tal que la proyección de p4 sobre p1 paralela a p2 sea r.
Fijado un sistema de referencia métrico en X, consideramos las siguientes variedades:
p1: (1,0,1,0) + á(0,1,0,1), (0,1,0,3)ñ
p2: (1,0,0,0) + á(0,0,0,1), (1,0,1,0)ñ
Calcular:
  1. La posición relativa de p1 y p2.
  2. Una perpendicular común. ¿Es única?
  3. La distancia entre p1 y p2.