Geometría.- Examen Final de Junio (21/06/2000) .

Ejercicio 1.- (2,5 puntos) En el espacio afín euclídeo  R4, se consideran las variedades:

L1:{x1 = 0   ;     x2+x3+2x4 = 7 }
L2: (1,3,2,4)+ < (2,0,0,0) > 
Se pide:
  1. Estudiar su posición relativa.
  2. Calcular la perpendicular común a ambas y la distancia entre L1 y L2.
  3. Escribir las ecuaciones implícitas de la dirección de todos los planos perpendiculares a L1.
  4. Escribir una base de la dirección de los hiperplanos perpendiculares a L2
Ejercicio 2.- (2,5 puntos) Sean A1, A2, A3 tres puntos distintos del plano, y consideremos los giros gi de centro Ai y ángulo 4p/3, para i = 1,2,3.
  1. Probar que g3 g2 g1 es una traslación o la identidad.
  2. Sea P0 un punto arbitrario del plano, y definimos Pi = gi(Pi-1), para i = 1,2,3. Deducir que si P3 = P0 entonces g3 g2 g1 es la identidad.
  3. Sean A1 = (0,0), A2 = (1,0). Probar que, si g3 g2 g1 es la identidad, los puntos A1, A2, A3 forman un triángulo equilátero.
  4. Sean ahora A1 = (0,0), A2 = (1,0), A3 = (1/2, Ö3/2), y consideremos las simetrías centrales si de centro Ai, para i = 1,2, y la simetría axial s de eje la recta A1 + A3. Clasificar y calcular los elementos geométricos del movimiento s s2 s1.
Ejercicio 3.- (2,5 puntos) Consideremos el espacio real euclídeo tridimensional y en él un sistema de referencia métrico  = {O;u1,u2,u3 }.
  1. Sean las simetrías axiales de ejes respectivos la paralela a u1 que pasa por O y la recta {x = 0 ; y+z = 0 } . Clasificar el movimiento que resulta de la composición de ambas simetrías y hallar sus puntos dobles, rectas dobles y dos planos dobles perpendiculares entre sí.
  2. Caracterizar el movimiento composición de dos simetrías axiales tales que sus ejes respectivos son perpendiculares entre sí.
Ejercicio 4.- (2,5 puntos) Sea el espacio proyectivo P3(R) y sean las rectas
r:{x0-x1-x2+x3 = 0     ;     x1-x3 = 0 } y s:{x0+x1 = 0     ;     x2+mx3 = 0 } 
  1. Discutir la posición relativa de r y s en función de los valores del parámetro m.
  2. Sea el punto P = (0:1:1:a). Si se considera el problema de hallar todas las rectas que pasan por P y cortan a r y a s, discutir el número de soluciones del problema según los valores de los parámetros m y a.
  3. Hallar todas las rectas que pasan por P y cortan a r y a s en el caso a = m = 0.

    4.