Geometría.- Examen Extraordinario de Diciembre. (2/12/99) 

Ejercicio 1.-(1 punto) Razonar la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:

  1. Si un movimiento de R3 deja invariante un plano, deja también invariante al menos una recta contenida en el plano.
  2. La composición de dos homotecias en el espacio afín n-dimensional es un movimiento si, y sólo si, el valor absoluto del producto de las razones es 1.
Ejercicio 2.-(3 puntos) Se considera el plano afín euclídeo X = R2.
  1. Demostrar que, dadas dos figuras F1, F2 Ì X, el conjunto de los movimientos que llevan F1 en F2 se puede obtener componiendo todos los movimientos que dejan invariante F1 con uno concreto que lleve F1 en F2.
  2. Sean los puntos
    3. A = (-1,0),  B = (-1,1),  C = (0,0),  D = (0,1),  E = (-1/2,1/2)
    y los puntos
    P = (2,0),  Q = (2,-1),  R = (3,0),  S = (3,-1),  T = (5/2,-1/2).
    Se considera la letra M formada por los segmentos
    M = {
    AB    		 ,
    CD    		 ,
    BE    		 ,
    ED    		 }
    y la letra W formada por los segmentos
    W = {
    PQ    		 ,
    RS    		 ,
    QT    		 ,
    TS    		 }.
    Hallar razonadamente los movimientos que llevan la M en la W y viceversa.
Ejercicio 3.-(3 puntos) Se considera el plano afín euclídeo X = R2.
  1. Determinar los vértices del triángulo cuyas alturas son las rectas:
    2. y = 2    ,     x+y = 3     ,     2x-y = 0
    sabiendo que la longitud de la altura contenida en la recta y = 2 es 4.
  2. ¿Está determinado el problema de hallar los vértices de un triángulo conociendo las ecuaciones de sus mediatrices? Razónese la respuesta utilizando simetrías axiales.
Ejercicio 4.-(3 puntos) En el espacio afín X =  R3 se consideran las rectas
r = {x1+x2 = 1 ;    x3 = 1},     s = (0,1,0)+ < (1,0,1) >     y el punto P = (1,0,0).
  1. ¿Tiene solución el problema de hallar una recta que pase por P y corte a r y s? Razonar la respuesta y, en caso afirmativo, obtener la solución.
  2. Consideremos el espacio afín  R3 sumergido en el espacio proyectivo P3(R) y sean `P, `r y `s las clausuras proyectivas de P, r y s, respectivamente. ¿Tiene ahora solución el problema de hallar una recta que pase por `P y corte a `r y `s? Razonar la respuesta y, en caso afirmativo, obtener la solución.