Ejercicio 1.-(3 puntos). En el espacio euclídeo R4,
y respecto de un sistema de referencia métrico, se consideran las
variedades:
p º
{x1+x2+x3 = 0
; x1+x2-x4 = 0
} y r º
(1,1,0,0)+ < (1,0,1,t) >
Estudiar la posición relativa de r y p
para los distintos valores de t.
Para t = 0, calcular su perpendicular común. ¿Es única?
Para t = -1, hallar las ecuaciones implícitas de todos los hiperplanos
que contienen a r y p.
Ejercicio 2.- (3 puntos). Sea (X,V,+) el espacio afín
euclídeo de dimensión tres sobre R y sea f un movimiento
inverso de X tal que existen un plano p Ì
X y un vector u Î V,
u ¹0,
que verifican:
f(u) = u
y f(P) = P+3u , "P
Îp
Probar que u Î D(p)
y establecer un sistema de referencia métrico Â
para obtener las ecuaciones de f respecto de Â.
Probar que f no tiene puntos dobles.
Clasificar el movimiento f y obtener sus elementos geométricos.
Ejercicio 3.- (2 puntos). Consideramos en el plano afín
euclídeo el triángulo T = ABC, cuyos vértices, respecto
de un sistema de referencia métrico, son:
A = (0,0) ,
B = (1,0) , C = (0,1)
¿Qué condiciones mínimas tiene que cumplir otro triángulo
T¢ = A¢B¢C¢
para que sea igual a T? Enumerar tres posibilidades.
Dar dos triángulos T1 y T2, semejantes a T,
de modo que la semejanza que lleve T en T1 sea directa y la
que lleve T en T2 sea inversa.
Ejercicio 4.- (2 puntos). Se considera el espacio afín
R3
sumergido en el espacio proyectivo P3(R).
Consideremos en R3 las rectas: r º
{ x1 = 1 ; x2+x3 = 0 } y s º
{ x1 = 2 ; x2-x3 = 1 } y el punto P =
(1,1,1). ¿Existe alguna recta que pase por P y corte a r y a s?
En caso afirmativo calcúlese y en caso negativo explíquese
el porqué.
Sean ahora en P3(R) las respectivas clausuras proyectivas
de las variedades anteriores, que seguimos llamando P, r y s. Encontrar
una recta que pase por P y corte a r y a s. Explicar la diferencia con
el apartado anterior.