Geometría. Curso 1°

20 de septiembre de 2001

 
 

Ejercicio 1.- (3 puntos).

  1. En un espacio afín de dimensión 5 se consideran dos variedades lineales afines, L1 y L2, que se cruzan. Determinar, utilizando la fórmula de la dimensión, cuáles pueden ser sus dimensiones, en cada uno de los siguientes casos:


    2. a) Existe un único hiperplano que las contiene.

    b) Existe más de un hiperplano que las contiene.

    c) No existe ningún hiperplano que las contiene.
     

  2. Dadas, en R4, las variedades: L1=(0,1,0,1)+ < (1,2,1,1) > y L2=(1,1,1,1)+ < (0,1,0,0),(1,3,1,1) > , se pide:

    3. a) Estudiar su posición relativa.

    b) Determinar la distancia entre ellas.

    c) Hallar la ecuación implícita de un hiperplano que las contenga. ¿Es único?


Ejercicio 2.- (3 puntos). En el plano afín ordinario se consideran dos rectas distintas, r y s, y los siguientes conjuntos de afinidades:
A¢={ f Î GA(X) | f(r)=s y f(s)=r }     ;     A¢¢={ f Î GA(X) | f(r)=r y f(s)=s }

  1. Razonar qué resulta de componer:
    1. Dos elementos de A¢.
    2. Dos elementos de A¢¢.
    3. Un elemento de A¢ por un elemento de A¢¢.
  2. Razonar si A¢, A¢¢ y/o A=A¢ÈA¢¢ forman grupo respecto a la composición de aplicaciones.
  3. Describir los movimientos que hay en A¢¢, distinguiendo los casos en que r y s sean paralelas o se corten.


Ejercicio 3.- (4 puntos).

  1. En el espacio afín euclídeo (X,V,+) de dimensión 4, sobre el cuerpo de los números reales, se considera la aplicación f:X ® X, cuyas ecuaciones respecto de un sistema de referencia métrico  = {O;{u1,u2,u3,u4}} son las siguientes:
    2. f(x,y,z,t) = (t,  y-z
    Ö2    		 ,  y+z
    Ö2    		 , x).
    Se pide:

    a) Calcular sus puntos dobles y direcciones dobles.

    b) Determinar si f es un movimiento.

    c) Sea el plano p º {x=t=0} de X. Sea la aplicación g:p®p, definida por g(P) = f(P), para todo punto P Îp. Determinar las ecuaciones de g respecto del sistema de referencia S = {O; u2,u3} (Sistema de referencia en p).

    d) Determinar si g es movimiento y si lo es, calcular sus elementos geométricos.