Á LGEBRA III. Primer parcial. Parte 1 30-1-01
 
 

Ejercicio 1.-(5 puntos) Demostrar las siguientes afirmaciones. Si coinciden con proposiciones demostradas en teoría o son equivalentes a algunas de éstas, habrá de repetirse la demostración dada en clase o sustituirse por otra similar que se base en los mismos preliminares. Los resultados que se usen en las demostraciones no habrá que demostrarlos, pero sí dejar sus enunciados bien claros.
1.- Sean A un anillo, B1, B2 y C álgebras sobre A,y sean Fi: Bi ® C homomorfismos de A-álgebras, i = 1,2. Entonces, existe un único homomorfismo de A-álgebras

f:B1 ÄB2 ® C
tal que Fi = f °ai, para i = 1,2, siendo
a1: B1 ®B1 ÄB2        a2: B2® B1 ÄB2
los homomorfismos de A-álgebras tales que a1(b1) = b1 Ä1, y a2(b2) = 1 Äb2, para todo bi Î Bi, i = 1,2.
2.- Sea A un anillo, S Ì A un conjunto multiplicativamente cerrado, y supongamos que g:A® B es un homomorfismo de anillos tal que g(s) es unidad de B, para todo s Î S. Entonces, existe un único homomorfismo de anillos h: S-1A ® B tal que g = h °f.
3.- Sea V una variedad afín en kn. Las siguientes condiciones son equivalentes:
  1. V es irreducible.
  2. Á(V) es un ideal primo.
  3. k[V] es un dominio de integridad.
4.- Sea k un cuerpo algebraicamente cerrado y V = V(I) una variedad afín de kn, donde I es un ideal de k[X]. Entonces, existe un algoritmo con entrada un sistema de generadores de I finito y cuya salida nos dice si V es o no un conjunto finito.
5.- Sea k un cuerpo infinito, fi Î k[T1,...,Tm], F:km ® kn definida por
F(t1,...,tm) = (f1(t1,...,tm),...,fn(t1,...,tm)).
Sea I = (X1-f1,...,Xn-fn) Ì k[T1,...,Tm,X1,...,Xn] y sea Im = I Çk[X1,...,Xn] el m-ésimo ideal de eliminación. Entonces
V(Im) = 
F(km)
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