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LGEBRA III. Primer parcial.
Parte 2 30-1-01
NOTA: Si para resolver los siguientes ejercicios se usan resultados
vistos en teoría, dichos resultados no habrá que demostrarlos,
pero sí dejar sus enunciados bien claros.
Ejercicio 2.-(1 punto) Sea A un anillo noetheriano. Probar
que todo ideal no nulo contiene un producto de ideales primos no nulos.
Ejercicio 3.-(2 puntos) Sean I y J dos ideales de k[X1,...,Xn].
Se recuerda que I y J se dicen comaximales si I+J = (1).
1.- Probar que si k es algebraicamente cerrado, entonces I y J son
comaximales si y sólo si V(I)ÇV(J)
= Æ.
Dar un ejemplo que muestre que el resultado anterior no es cierto en
el caso no algebraicamente cerrado.
2.- Probar que si I y J son comaximales, entonces IJ = I ÇJ.
¿Es cierto el recíproco? Dar un contraejemplo o una demostración.
3.- Si I y J son comaximales, probar que entonces I y J2
son comaximales. Más generalmente, probar que Is y Jr
son comaximales para todo s y r enteros positivos.
4.- Sean I1,...,Ir ideales en k[X1,...,Xn]
y supongamos que Ii y Ji: = Çj
¹ iIj son comaximales
para todo i. Probar que
| I1m ǼÇIrm
= (I1 ¼Ir)m
= (I1 ǼÇIr)m |
|
para todo entero positivo m.
Ejercicio 4.-(2 puntos) Sea k un cuerpo, y sean V y W
dos variedades afines de kn.
1.-Dar un ejemplo donde se vea que
| V-W = { P Î V
| P \not Î
W }, |
|
no es en general una variedad afín.
2.- Sean I, J Î k[X1,...,Xn]
dos ideales. Probar que
Además, si k es algebraicamente cerrado e I es radical, se da la
igualdad.
3.- Probar que
I(V): I(W) = I(V-W).