ALGEBRA III

Segundo parcial (1-6-01). 

Primera parte.

Ejercicio 1: (5 puntos) Demostrar las siguientes afirmaciones. Si coinciden con proposiciones demostradas en teoría o son equivalentes a algunas de éstas, habrá de repetirse la demostración dada en clase o sustituirse por otra similar que se base en los mismos preliminares. Los resultados que se usen en las demostraciones, no habrá que demostrarlos pero sí dejar sus enunciados bien claros.

  1. Sean A Ì B anillos, C la clausura entera de A en B, y S un subconjunto multiplicativamente cerrado de A. Entonces, S-1C es la clausura entera de S-1A en S-1B.
  2. Si A Ì B es una extensión de anillos entera, entonces dimA = dimB.
  3. Si V es una variedad afín monomial y V = Èrj = 1 Vj es su descomposición en componentes irreducibles, entonces las variedades Vj son subespacios de coordenadas.
  4. Sea I un ideal de k[X]. Se verifica que
    5. dim(k[X]/I) = grad(aPHI).
  5. Si A es un anillo noetheriano y M un A-módulo, se tiene que
    6. Ass(M) ¹ ÆÛ M ¹ 0.

Segunda parte.

Ejercicio 2: (2 puntos) Se llama superficie afín de Veronese, V, a la imagen de la parametrización polinomial
F: 
R2
®
R5
(u,v) 
®
(u,v,u2,uv,v2).
  1. Probar que V es una variedad afín de R5.
  2. Definir
    3. ~
    F    		 :P2(R) ®P5(R)
    de forma que su imagen sea la clausura proyectiva de V. Razonar la respuesta, es decir, comprobar que
    ~
    F    		 está bien definida y que Im( ~
    F    		 ) = 
    V    		 .
Ejercicio 3: (1'5 puntos) Sea
j: 
A1(C) 
®
A2(C) 
t 
®
(t2,t3).
Probar que al restringir j sobre su imagen se obtiene un morfismo que es homeomorfismo pero no isomorfismo.

Ejercicio 4: (1'5 puntos) Sea A un anillo e I Ì A un ideal radical. Probar que si I es descomponible, entonces I tiene una única descomposición primaria minimal.