Ejercicio 1:(5 puntos) Demostrar las siguientes afirmaciones. Si coinciden con proposiciones demostradas en teoría o son equivalentes a algunas de éstas, habrá de repetirse la demostración dada en clase o sustituirse por otra similar que se base en los mismos preliminares. Los resultados que se usen en las demostraciones no habrá que demostrarlos, pero sí dejar sus enunciados bien claros.

1. Sea A un anillo e I un ideal de A contenido en su radical de Jacobson. Supongamos que M es un A-módulo finitamente generado. Se verifican:
1. IM = M Þ M = 0.
2. Si N es un submódulo de M tal que M = IM+N, entonces M = N.
2. Sea A un anillo, S Ì A un conjunto multiplicativamente cerrado y M un A-módulo. Existe un isomorfismo de A-módulos

S-1M @ S-1A ÄA M.

3. Si A es un anillo noetheriano, entonces A[X] es noetheriano.
4. Sea k un cuerpo e I Ì A = k[X₁,...,X_n] un ideal. Si {f₁,...,f_t} Ì I es una base de Gröbner de I y f Î A, se verifica que

f Î I Û f  R  f1,...,ft = 0.

En el caso en que {f₁,...,f_t} no sea una base de Gröbner de I, ¿puede verificarse la equivalencia anterior? Razonar la respuesta.
5. Sea k un cuerpo infinito, y sean f_i, g_i Î k[T₁,...,T_m], g_i ¹ 0, 1 £ i £ n. La variedad afín de kⁿ

V: =  ì í î æ ç è f1(t1,...,tm) g1(t1,...,tm) ,..., fn(t1,...,tm) gn(t1,...,tm) ö ÷ ø   |   (t1,...,tm) Î km - W  ü ý þ ,

es irreducible, siendo W = V(g) con g = Õ_{i = 1}ⁿ g_i.