Ejercicio 2:(2 puntos) Sea k un cuerpo e I Ì k[X₁,...,X_n] = k[X] un ideal tal que V = V(I) Ì kⁿ sea una variedad afín finita de cardinal m, V = {P₁,...,P_m}.

1. Probar que la aplicación

j: k[X]/I ® km

dada por j(f+I) = (f(P₁),...,f(P_m)), está bien definida y es un homomorfismo de anillos sobreyectivo.
2. Supongamos que k es algebraicamente cerrado. Probar que:

j   es isomorfismo Û I   es radical.

3. Dar un contraejemplo donde se vea que la equivalencia del apartado anterior es falsa si se suprime la hipótesis k algebraicamente cerrado.

 

 

1. Sea k Ì K una extensión de cuerpos. Supongamos que a₁, ..., a_r Î K son algebraicos sobre k. Probar que k[a₁,...,a_r] es un cuerpo.
2. Sea a Î K algebraico sobre k y sea f(X) Î k[X] el polinomio mínimo de a sobre k. Sea b Î k[a], b = g(a), g(X) Î k[X]. Dar razonadamente un procedimiento algorítmico que determine el polinomio mínimo de b sobre k a partir de los datos anteriores.
3. Sea I Ì k[X₁,...,X_n] un ideal, I ¹ (1). Sea [`k] el cierre algebraico de la extensión y (c<sub>1</sub>,...,c<sub>n</sub>) Î V<sub>[`k]</sub>(I), es decir (c₁,...,c_n) Î [`k]ⁿ y f(c₁,...,c_n) = 0 para todo f Î I.


Consideramos los siguientes polinomios:
f₁(X₁) Ì k[X₁] el polinomio mínimo de c₁ sobre k,
f_i(X₁,...,X_i) Î k[X₁,...,X_i] tal que f_i(c₁,...,c_i-1,X_i) es el polinomio mínimo de c_i sobre k[c₁,...,c_i-1], 2 £ i £ n.

Probar que el ideal J = (f₁,...,f_n) Ì k[X₁,...,X_n] es un ideal maximal y que I Ì J.