Ejercicio 1:(5 puntos) Demostrar las siguientes afirmaciones. Si coinciden con proposiciones demostradas en teoría o son equivalentes a algunas de éstas, habrá de repetirse la demostración dada en clase o sustituirse por otra similar que se base en los mismos preliminares. Los resultados que se usen en las demostraciones no habrá que demostrarlos, pero sí dejar sus enunciados bien claros.

En lo que sigue k representará un cuerpo infinito.

1. Si A Ì B es una extensión entera de anillos, y p es un ideal primo de A, entonces existe un primo q de B tal que q ÇA = p.
2. Existen k-álgebras finitamente generadas que tienen cadenas de primos saturadas de distintas longitudes.
3. Sea k algebraicamente cerrado, V Ì Aⁿ, una variedad afín de dimensión d. Entonces, existe una variedad lineal L de dimensión d, y existe una aplicación p: Aⁿ® Aⁿ tal que:
1. p(V) = L.
2. p^-1(Q) ÇV es finito y no vacío, para todo Q Î L.
4. Supongamos k algebraicamente cerrado y sea V = V(I) una variedad afín, donde I Ì k[Y₁,...,Y_n]. Existe un algoritmo cuya entrada es un conjunto de generadores de I, y cuya salida es la dimensión de V.
5. Consideramos A un anillo, y

a =  n Ç i = 1 qi =  r Ç i = 1 q'i,

dos descomposiciones primarias minimales del ideal a. Entonces, n = r y

{ Ö qi   |   1 £ i £ n } = { Ö q'i   |   1 £ i £ n}.