Ejercicio 2:(3 puntos) La imagen de la aplicación que definimos a continuación recibe el nombre de inmersión de Segre. Supondremos que k es un cuerpo infinito.

Sea y: P^r ×P^s ®P^N , con N = rs+r+s la aplicación definida por y( (a₀ : ... : a_r ) , (b₀ : ... : b_s )): = (a₀b₀ :a₀ b₁ : ... : a_rb_s) .

1. Probar que y está bien definida y es inyectiva.
2. Probar que la imagen de y es una variedad irreducible en P^N [Ayuda: Sean { z_ij }_{0 £ i £ r  0 £ j £ s} las coordenadas homogéneas de P^N y f: k[ {z_ij }] ® k[x₀, ... , x_r , y₀ , ... , y_s] el homomorfismo de k-álgebras definido por f(z_ij ) = x_iy_j . Probar que su núcleo es homogéneo y primo. Concluir que Im (y) = v_p (Ker f) teniendo en cuenta que los polinomios de la forma z_ijz_kl-z_kjz_il están en Kerf.]
3. Para r = s = 1 probar que la inmersión de Segre de P¹ ×P¹ en P³ es v_p(I), donde I = (X₀ X₃ - X₁ X₂ ).


Calcular el polinomio de Hilbert de I.

1. En Z[X], probar que m = (2,X) es un ideal maximal y que q = (4,X) es m-primario pero no es una potencia de m.
2. Supongamos que A es un dominio de integridad verificando la siguiente propiedad:

Para todo elemento x ¹ 0 de K su cuerpo de fracciones, x Î A ó x^-1 Î A. Probar que A es íntegramente cerrado.