Á LGEBRA (Convocatoria de Diciembre) 10-12-99 

Ejercicio 1.-(5 puntos) Demostrar las siguientes afirmaciones. Si coinciden con proposiciones demostradas en teoría, habrá de repetirse la demostración dada en clase o sustituirse por otra que se base en los mismos preliminares.
1.- Sea A un anillo, I Ì A un ideal y M un A-módulo. Entonces, A/I ÄA M es isomorfo a M/IM.
2.- Sea V una variedad afín en kn. Las siguientes condiciones son equivalentes:

  1. V es irreducible.
  2. Á(V) es un ideal primo.
  3. k[V] es un dominio de integridad.
3.- Sea k un cuerpo infinito, fi Î k[T1,...,Tm], F:km ® kn definida por
F(t1,...,tm) = (f1(t1,...,tm),...,fn(t1,...,tm)).
Sea I = (X1-f1,...,Xn-fn) Ì k[T1,...,Tm,X1,...,Xn] y sea Im = I Çk[X1,...,Xn] el m-ésimo ideal de eliminación. Entonces
V(Im) = 
F(km)
 		 .
4.- Si A Ì B una extensión de anillos entera, entonces dimA=dimB.
5.- Sea V una variedad afín en kn no vacía y sea [`V] su clausura proyectiva. Se verifica que
V
 		 = Vp(Á(V)h).

Ejercicio 2.-(3 puntos) Sean I y J dos ideales de k[X1,...,Xn]. Se recuerda que I y J se dicen comaximales si I+J = (1).
1.- Probar que si k es algebraicamente cerrado, entonces I y J son comaximales si y sólo si V(I)ÇV(J) = Æ.
Dar un ejemplo que muestre que el resultado anterior no es cierto en el caso no algebraicamente cerrado.
2.- Probar que si I y J son comaximales, entonces IJ = I ÇJ. ?`Es cierto el recíproco? Dar un contraejemplo o una demostración.
3.- Si I y J son comaximales, probar que entonces I y J2 son comaximales. Más generalmente, probar que Is y Jr son comaximales para todo s y r enteros positivos.
4.- Sean I1,...,Ir ideales en k[X1,...,Xn] y supongamos que Ii y Ji: = Çj ¹ iIj son comaximales para todo i. Probar que

I1m ǼÇIrm = (I1 ¼Ir)m = (I1 ǼÇIr)m
para todo entero positivo m.

Ejercicio 3.-(1 punto) Sea I = (f1,...,fr) un ideal de k[X1,...,Xn] y supongamos f Î I. Describir un procedimiento algorítmico para obtener polinomios g1, ..., gr tales que f = åi = 1r gi fi.

Ejercicio 4.-(1 punto) Sea A = k[X1,...,Xn] y supongamos f Î A. Consideramos el conjunto multiplicativamente cerrado de A, S = {fn   |   n Î N}. Sea Af = S-1A y j: A ® Af el homomorfismo natural j(g) = g/1. Si I es un ideal de A, probar que

Iec = { g Î A   |   fsg Î I   para algún   s Î N }.
Dar razonadamente un algoritmo que calcule unos generadores del ideal Iec a partir de unos generadores de I.