Ejercicio 1.-(5 puntos) Demostrar las siguientes afirmaciones. Si coinciden con proposiciones demostradas en teoría o son equivalentes a algunas de éstas, habrá de repetirse la demostración dada en clase o sustituirse por otra similar que se base en los mismos preliminares. Los resultados que se usen en las demostraciones no habrá que demostrarlos, pero sí dejar sus enunciados bien claros.

1. Sean A un anillo, S Ì A un conjunto multiplicativamente cerrado y M un A-módulo. Existe un isomorfismo de S^-1A-módulos

S-1M @ S-1AÄA M.

2. Sean A Ì B una extensión de anillos y C su clausura entera. Si I Ì A es un ideal e I^e representa la extensión de I en C, entonces la clausura entera de I en B es Ö{I^e}.
3. Sean k un cuerpo, I Ì k[x₁,...,x_n] un ideal de polinomios, V=V(I) la variedad afín definida por I y [`V] su clausura proyectiva. Si k es algebraicamente cerrado, entonces

V   =Vp(Ih),

pero si k no es algebraicamente cerrado la igualdad anterior no es cierta en general.
4. Si V es una variedad afín monomial y V = È_j=1^r V_j es su descomposición en componentes irreducibles, entonces las variedades V_j son subespacios de coordenadas.
5. Sean k un cuerpo, I Ì k[x₁,...,x_n]=k[x] un ideal de polinomios, y A=k[x]/I la k-álgebra cociente. Probar que

dim(A) = grad(aPHI).

1. Probar que si I es un ideal maximal de k[x₁,...,x_n], entonces la variedad afín V(I) es vacía o un punto.
2. Dar explícitamente un ideal maximal I de k[x₁,...,x_n] que no sea de la forma

(x1-a1,...,xn-an).

Ejercicio 4.-(2 puntos)

1. Comprobar que el conjunto de polinomios

{ty, tx-x,xy,x2,y2},

es una base de Gröbner del ideal J=(tx², ty, (1-t)x, (1-t)y²) Ì k[t,x,y] para el orden lexicográfico.
2. Probar que el ideal I=(x²,xy,y²) es un ideal primario de k[x,y] pero no irreducible.