ÁLGEBRA III
(Primer parcial) 9-2-99
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Ejercicio 1.-(5 puntos) Responder a las siguientes cuestiones.
En las demostraciones que se piden, los resultados que se usen habrá
que probarlos aunque se hayan visto en teoría.
1.- Sea A un anillo y sea p Ì
A un ideal primo. Probar que Ap es un anillo local.
2.- Sea A un anillo local y M un A-módulo finitamente generado.
Dar (razonadamente) una cota inferior para el cardinal de un sistema generador
de M ¿Cuáles son los sistemas de generadores de M que alcanzan
la cota? Razonar la respuesta.
3.- Sea A un anillo, Mi y N A-módulos, i = 1,...,n.
Probar que existe un isomorfismo canónico
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æ
è |
n
Å
i = 1 |
Mi |
ö
ø |
|
Ä |
N @ |
n
Å
i = 1 |
(Mi |
Ä |
N). |
|
4.- Dar (razonadamente) un ejemplo de un módulo plano que no sea
libre.
5.- Sea k un cuerpo, y sean I1, I2 Ì
k[X1,...,Xn] ideales ¿Es cierto que
| V(I1)
= V(I2) Û |
|
__
ÖI1 |
= |
|
__
ÖI2 |
? |
|
Razonar la respuesta.
Nota.- Para realizar los dos ejercicios siguientes se podrán
usar los resultados de teoría sin dar sus demostraciones, pero enunciados
con claridad.
Ejercicio 2 .- (2 puntos) Sean k un cuerpo, A = k[X1,...,Xn],
I1,...,Ir Ì A ideales.
Definimos la aplicación
F(f) = (f+I1,...,f+Ir).
1.- Demostrar que F es un homomorfismo de
A-álgebras.
2.- Dar una condición necesaria y suficiente para que F
sea sobreyectiva.
3.- Dar una condición necesaria y suficiente para que F
sea inyectiva.
4.- Describir (razonadamente) un algoritmo cuya entrada sean unos generadores
de los ideales I1,...,Ir, y como salida responda
si F es o no sobreyectiva, inyectiva y biyectiva.
Ejercicio 3 .-(3 puntos) Sea k un cuerpo infinito,
fi,gi Î k[T1,...,Tm],
gi ¹ 0, 1 £
i £ n. Sea
| Y:k[X1,...,Xn]
®
k(T1,...,Tm), |
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el homomorfismo de k-álgebras definido por
| Y(Xi) = |
fi(T1,...,Tm)
gi(T1,...,Tm) |
, 1 £ i £
n. |
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Denotemos I : = ker(Y), y V: = V(I).
1.- Probar que V es una variedad afín irreducible.
2.- Describir (razonadamente) un algoritmo cuya entrada sean los polinomios
fi,gi, 1 £ i £
n, y de su salida se obtengan unas ecuaciones de V.
On 29 Oct 1999, 12:32.