ALGEBRA III. Examen final de junio (a). Primer Parcial ( 28-6-99 )

Ejercicio 1:(8 puntos) Demostrar las siguientes afirmaciones. Si coinciden con proposiciones demostradas en teoría o son equivalentes a algunas de éstas, habrá de repetirse la demostración dada en clase o sustituirse por otra similar que se base en los mismos preliminares. Los resultados que se usen en las demostraciones no habrá que demostrarlos, pero sí dejar sus enunciados bien claros.

  1. Sean A un anillo, I, J, P Ì A ideales, P primo. Se verifica que:
    2. (1.1)    __
    ÖIJ    		 = 
    Ö
    I ÇJ    		 = ÖI ÇÖJ
    (1.2)    __
    ÖPn    		 = P,  si   n > 0
  2. Sean A un anillo local, k su cuerpo residual y M es un A-módulo finitamente generado. Se verifica que:
    3. MÄA k = 0 Þ M = 0.
  3. Sea A un anillo y M un A-módulo. Si M es libre, entonces es plano.
  4. Sea k un cuerpo algebraicamente cerrado, V = V(I) una varidad afín en An(k), y pr:kn® kn-r la proyección sobre las últimas variables. Entonces, la clausura de Zariski de pr(V) está definida por el ideal IÇk[Xr+1,...,Xn]
Ejercicio 2:(2 puntos) Sea k un cuerpo, y sea A = k[X1,...,Xn]. Si I es un ideal de A, definimos
(I:g¥) = 
È
s Î N		 (I:gs).
  1. Probar que si (I:gs) = (I:gs+1) para cierto s ÎN, entonces
    2. (I:g¥) = (I:gs).
    ¿Existe s verificando tal propiedad? Razonar la respuesta.
  2. Sea Ie el ideal extendido de I en k[Y,X1,...,Xn], y sea J = Ie + (Yg-1). Probar que
    3. (I:g¥) = J ÇA.
  3. Describir razonadamente un algoritmo con entrada el polinomio g y unos generadores de I, y con salida unos generadores de (I:g¥).

On 26 Oct 1999, 13:43.