Ejercicio 1:(8 puntos) Demostrar las siguientes afirmaciones. Si coinciden con proposiciones demostradas en teoría o son equivalentes a algunas de éstas, habrá de repetirse la demostración dada en clase o sustituirse por otra similar que se base en los mismos preliminares. Los resultados que se usen en las demostraciones no habrá que demostrarlos, pero sí dejar sus enunciados bien claros.

1. Sea A un anillo, y sea S un conjunto multiplicativamente cerrado en A. Si todo ideal de A es descomponible (tiene descomposición primaria), S^-1A verifica la misma propiedad.
2. Sea A un anillo noetheriano, I Ì A un ideal, I ¹ (1). Los primos que aparecen en el conjunto de ideales

{(I:x)   |  x Î A },

son exactamente los primos asociados a I.
3. Sea k un cuerpo infinito, A = k[X₁,...,X_n], I Ì A un ideal principal, I ¹ (0),(1). Entonces, existen f₁,...,f_n Î A algebraicamente independientes sobre k, tales que si llamamos B = k[f₁,...,f_n] se verifican las siguientes propiedades:
1. B Ì A es entera.
2. I ÇB = (f_n).
3. f_i = å_{j = 1}ⁿ a_ijX_j, con a_ij Î k para todo i = 1,...,n-1.
4. Sea k un cuerpo algebraicamente cerrado, y sea V ÌPⁿ(k) una variedad proyectiva. Probar que

dim(V) = dim (k[X0,...,Xn]/Áp(V))-1.

1. Probar que si f es graduado, entonces ker(f) es un ideal homogéneo de A, y que im(f) es un subanillo graduado de B.
2. Sea k un cuerpo infinito, V Ì Aⁿ una curva monomial, y `V ÌP<sup>n</sup> su clausura proyectiva. Describir dos homomorfismos graduados de grado 0, j y F, cuyos núcleos sean respectivamente Á(V) y Á<sub>p</sub>(`V). Razonar la respuesta.