ALGEBRA III Segundo parcial (14-6-99) 

Ejercicio 1: Demostrar las siguientes afirmaciones. Si coinciden con proposiciones demostradas en teoría o son equivalentes a algunas de éstas, habrá de repetirse la demostración dada en clase o sustituirse por otra similar que se base en los mismos preliminares. Los resultados que se usen en las demostraciones, no habrá que demostrarlos pero sí dejar sus enunciados bien claros.

  1. Sean A un anillo, X = Spec(A) con la topología de Zariski, X¢ ÌX un cerrado. Probar que
    2. X¢  es irreducible   Û I(X¢)  es primo.
  2. Sea k un cuerpo infinito, y Xi indeterminadas, 1 £ i £ n. Probar que dim(k[X1,...,Xn]) = n.
  3. Existen álgebras finitamente generadas sobre un cuerpo, que tienen cadenas de primos maximales de distintas longitudes.
  4. Sea A un anillo, I un ideal descomponible con 5 primos asociados Pi, 1 £ i £ 5, verificando las siguientes relaciones de inclusión:
    5. P1 Ì P2 Ì P3        P4 Ì P5.
    Supongamos que
    I =  5
    Ç
    i = 1    		 Qi
    es una descomposición primaria minimal de I con
      __
    ÖQi    		 = Pi.
    Probar que Q1 ÇQ2ÇQ4 no depende de la descomposición.
  5. Si A es un anillo noetheriano y M un A-módulo finitamente generado, se tiene que Ass(M) es finito.
Ejercicio 2: Sea k un cuerpo infinito y sean a1,...,anÎ N enteros positivos primos entre si. Consideramos la curva monomial V ÌAn definida por las paramétricas Yi = tai, 1 £ i £ n, t Î k.
  1. Probar que el siguiente algoritmo es correcto.

    2. Algoritmo:
    Entrada: a1,...,an.
    Salida: Unas ecuaciones implícitas de V.
    1.- Considerar el ideal J de k[S,T,X0,X1,...,Xn] generado por los polinomios
    X0-Sr,  Xi-Sr-aiTai,   1 £ i £ n
    donde r = max1 £ i £ n(ai).
    2.- Calcular una base de Gröbner de J respecto del orden lexicográfico, G.
    3.- Determinar F = G Çk[X0,...,Xn] = {f1,...,fd}.
    4.- Dar como salida D(F) = {D(f1),...,D(fd)}.
  2. Usando la notación del algoritmo anterior, probar que
    3. Áp(
    V    		 ) = JÇk[X0,...,Xn].
  3. Supongamos que n = 3, a1 = 2, a2 = 5 y a3 = 7. Sea
    4. A: = k[X0,X1,X2,X3]/Áp(
    V    		 ).
    Determinar razonadamente dos elementos a, b Î A, tales que sean algebraicamente independientes sobre k y k[a,b] Ì A sea una extensión entera.
Nota: Cada uno de los apartados vale 1 punto, salvo el apartado 1 del ejercicio 2 que vale 3 puntos.


On 26 Oct 1999, 13:25.