Ejercicio 1: Demostrar las siguientes afirmaciones. Si coinciden con proposiciones demostradas en teoría o son equivalentes a algunas de éstas, habrá de repetirse la demostración dada en clase o sustituirse por otra similar que se base en los mismos preliminares. Los resultados que se usen en las demostraciones, no habrá que demostrarlos pero sí dejar sus enunciados bien claros.

1. Sean A Ì B anillos, C la clausura entera de A en B, y S un subconjunto multiplicativamente cerrado de A. Entonces, S^-1C es la clausura entera de S^-1A en S^-1B.
2. Si A Ì B es una extensión de anillos entera, entonces dimA = dimB.
3. Si V es una hipersuperficie de Aⁿ(k), donde k es un cuerpo algebraicamente cerrado, entonces dimV = n-1 ¿Es cierto en el caso k no algebraicamente cerrado? Razonar la respuesta.
4. Sea V = V(I) ÌAⁿ(k), donde k es un cuerpo algebraicamente cerrado. Entonces las componentes irreducibles de V son las variedades afines definidas por los primos asociados a I que son aislados.
5. Si A es un anillo noetheriano y M un A-módulo, se tiene que

Ass(M) ¹ ÆÛ M ¹ 0.

6. Sea A es un anillo noetheriano, e I ¹ (1) un ideal. El conjunto de ideales

{ J Î V(I) |   ht(J) = 0},

es finito.

 

_
V	= W

    donde V es la curva monomial de A³ dada por las paramétricas {(t³,t²,t⁵) |  t Î k}.
3. ¿Es Á_p(W) = I? Razonar la respuesta.
4. Calcular razonadamente unas ecuaciones de W y otras de V, usando como dato que una base de Grobner del ideal

J = (X0-S5,X1-S2T3,X2-S3T2,X3-T5) Ì k[S,T,X0,X1,X2,X3]

respecto del orden lexicográfico es

G = {S5-X0, S3T2-X2, S2T3-X1, S2X2-T2X0,

S2-T2X1, ST4X0-X22, ST4X2-X12, SX1-TX2,

SX22-TX1, SX2X3-X12T, T5-X3, X0X12-X23,

X0X3-X1X2, X13-X22X3}