Ejercicio 1: Sea A = Å_{n Î Z} A_n un anillo graduado, y M un A-módulo. Se dice que M es graduado si M = Å_{n Î Z}M_n donde M_n son subgrupos aditivos de M, tales que A_nM_m Ì M_n+m, para todos n,m Î Z. A los elementos de M_n se les llama homogéneos de grado n. Todo elemento de M se escribe de forma única como suma finita de elementos homogéneos que llamaremos componentes.

Si N Ì M es un submódulo, se dirá que N es graduado si N = Å_{n Î Z}(N ÇM_n) tiene estructura de A-módulo graduado.

1. Probar que las siguientes condiciones son equivalentes:
1. N está generao por elementos homogéneos.
2. N es graduado.
3. Si x Î N, todas las componentes homogéneas de x están en N.
2. Sea N Ì M un submódulo graduado, entonces M/N es un A-módulo graduado.
3. Sea N un A-módulo graduado y sea f:M ® N un homomorfismo de A-módulos. Se dice que f es graduado si existe p Î Z tal que f(M_n) Ì N_n+p, para todo n ÎZ. En este caso se dirá que f es graduado de grado p. Probar que si f es graduado, entonces ker(f) es un submódulo graduado de M, e im(f) es un submódulo graduado de N.
4. Supongamos que A = k[X₁,...,X_n] graduado dando a X_i el peso a_i ÎN no nulo, i = 1,...,n. Consideramos el ideal I = (X₁,...,X_n) de A, y sea M un A-módulo graduado. Probar que

IM = M Þ M = 0.

5. En las condiciones del apartado anterior, sea N Ì M un submódulo graduado. Probar que

M = IM+N Þ M = N.

6. En las condiciones del apartado 4, supongamos que M está finitamente generado. Demostrar que todos los sistemas de generadores irreducibles homogéneos tienen el mismo cardinal.

1. Si llamamos p:Nⁿ ®Z^d, a la aplicación definida por

p(u1,...,un) = u1a1+¼+unan,

probar que el conjunto de binomios

{ Xu -Xv  |   u, v ÎNn   y   p(u) = p(v) },

forman una base de I como k-espacio vectorial.
2. Consideramos la matrix A = (a₁|¼|a_n). Probar que

dim(k[X]/I) = rg(A).