ALGEBRA III. Examen de septiembre 19-9-00
Ejercicio 1:(5 puntos) Demostrar las
siguientes afirmaciones. Si coinciden con proposiciones
demostradas en teoría o son equivalentes a algunas de éstas,
habrá de repetirse la demostración dada en clase o sustituirse
por otra similar que se base en los mismos preliminares. Los
resultados que se usen en las demostraciones, no habrá que
demostrarlos pero sí dejar sus enunciados bien claros.
1.-Sea
A un anillo y M un A-módulo. Si M es libre, entonces es
plano.
2.- Sea k un cuerpo, P Î kn un punto y k[X] = k[X1,...,Xn]. El conjunto
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OP = |
ì
í
î
|
f(X)
g(X)
|
| f, g Î k[X] , g(P) ¹ 0 |
ü
ý
þ
|
|
|
es un anillo local y noetheriano.
3.-Sea k un
cuerpo infinito y H Ì kn una hipersuperficie, es decir
H = V(f) con f Î k[X1,...,Xn] - {0}. Si k es
algebraicamente cerrado entonces dim(H) = n-1, pero si k no es
algebraicamente cerrado sólo podemos asegurar dim(H) £ n-1.
3.- Si V es una variedad afín monomial y V = Èj = 1rVj es su descomposición en componentes irreducibles, entonces
las variedades Vj son subespacios de coordenadas.
4.- Si A
es un anillo noetheriano y M es un A-módulo finitamente
generado, entonces Ass(M) es un conjunto finito.
Ejercicio 2:(2 puntos) Sea A un dominio de
integridad y M un A-módulo. Un elemento x Î M es de
torsión si Ann (x) ¹ 0 , es decir, si existe
algún elemento a Î A no nulo tal que ax = 0. Denotamos T(M) al conjunto de elementos de M que son de torsión. Probar
que:
1.- T(M) submódulo.
2.- T (M/T(M)) = 0 .
3.- Si
f : M ® N homomorfismo de A-módulos, f (T(M)) Í T(N).
4.- Si 0 ® M¢® M® M¢¢ es una sucesión exacta de A-módulos,
entonces 0 ® T(M¢) ® T(M)® T(M¢¢) también.
5.- Probar que T no es un
funtor exacto.
Ejercicio 3: (3 puntos) Sea k un cuerpo
infinito, a1,...,an Î N enteros positivos, y
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F:k[X0,X1,...,Xn] ® k[S,T] |
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el homomorfismo de k-álgebras
definido por F(X0) = Sr, F(Xi) = Sr-aiTai, 1 £ i £ n, donde r = max1 £ i £ n(ai).
1.-Probar
que I = ker(F) es un ideal homogéneo.
2.- Sea
W = Vp(I) Ì Pn. Probar que
[`V] = W, donde V es la curva monomial de An
dada por las paramétricas {(ta1,...,tan) | t Î k}.
3.-Probar que Áp(W) = I.
4.- Describir
razonadamente un algoritmo con entrada a1,...,an, y con
salida unas ecuaciones de W y otras de V.
5.- Sea
Determinar dos elementos a,
b Î A, tales que sean algebraicamente independientes sobre
k y k[a,b] Ì A sea una extensión entera.
Razonar la respuesta.
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On 4 Oct 2000, 09:08.