Ejercicio 1: (5 puntos) Responder a las siguientes cuestiones. Si se piden demostraciones que coinciden con proposiciones demostradas en teoría, habrá de repetirse la demostración dada en clase o sustituirse por otra similar que se base en los mismos preliminares. Los resultados que se usen en las demostraciones, no habrá que demostrarlos pero sí dejar sus enunciados bien claros.

1. Sea A un anillo local y M un A-módulo finitamente generado. Dar (razonadamente) una cota inferior para el cardinal de un sistema generador de M ¿Cuáles son los sistemas de generadores de M que alcanzan la cota? Razonar la respuesta.
2. Dar (razonadamente) un ejemplo de un módulo plano que no sea libre.
3. Sean A Ì B anillos, C la clausura entera de A en B, y S un subconjunto multiplicativamente cerrado de A. Entonces, S^-1C es la clausura entera de S^-1A en S^-1B.
4. Sea k un cuerpo infinito, A = k[X₁,...,X_n], I Ì A un ideal principal, I ¹ (1),(0). Entonces, existen f₁,...,f_n Î A algebraicamente independientes sobre k, tales que si llamamos B = k[f₁,...,f_n] se verifican las siguientes propiedades:
1. B Ì A es entera.
2. I ÇB = (f_n).
3. f_i = å_{j = 1}ⁿ a_ijX_j, con a_ij Î k para todo i = 1,...,n-1.
5. Sea k un cuerpo algebraicamente cerrado, y sea V ÌPⁿ(k) una variedad proyectiva. Probar que

	~
dim(V) = dim	(V) - 1

donde

~

V  es el cono afín de V.

Ejercicio 2: (5 puntos)  Sean A y B dos anillos graduados,  A = Å_{m ÎZ}A_m,  B = Å_{m ÎZ} B_m.   Un homomorfismo de anillos
F:A ® B se dice graduado si existe p Î Z  tal que F(A_m) Ì B_m+p  para todo m Î Z.. En este caso, se dirá que F es de grado p.

Responder a las siguientes cuestiones:

1. Sea k un cuerpo, y a₁,... a_n ÎZ^d. Si A: = k[X₁,...,X_n] y B: = k(T₁, ... , T_d), consideramos

F:A ® B,

el homomorfismo de k-álgebras definido por F(X_i) = T^a_i.

Dotar a A y B de graduaciones tales que F sea un homomorfismo graduado de grado 0. Razonar la respuesta.

2. Describir (razonadamente)un algoritmo con entrada a₁, ..., a_n, y cuya salida sea un sistema generador del ideal I = ker(F).
3. Cada elemento v Î Zⁿ se escribe de forma única como v = v⁺ -v^-, con v⁺, v^- ÎNⁿ y con soporte disjunto (el soporte de v = (v₁,...,v_n) es el conjunto {i   |   v_i ¹ 0 }).

 

 
 
 

Consideramos el Z-módulo (o grupo abeliano) siguiente

L : = { vÎZn   | n å i = 1 viai = 0 }.

Probar que

I = áXu+-Xu-  |   u ÎLñ.

4. Sea C ÌL, definimos el ideal

JC : = áXv+ - Xv-  |   v ÎCñ.

Probar que si C genera L entonces

(JC: (X1¼Xn)¥) = I.

Nota: Se recuerda que si J es un ideal de A y f Î A,

(J:f¥) =  È s Î N (J:fs).