ALGEBRA III

Examen final de junio (Primer parcial) 21-6-01

Ejercicio 1:(4'5 puntos) Demostrar las siguientes afirmaciones. Si coinciden con proposiciones demostradas en teoría o son equivalentes a algunas de éstas, habrá de repetirse la demostración dada en clase o sustituirse por otra similar que se base en los mismos preliminares. Los resultados que se usen en las demostraciones no habrá que demostrarlos, pero sí dejar sus enunciados bien claros.

  1. Sean A un anillo, a un ideal y M un A-módulo. El A-módulo (A/a) ÄA M es isomorfo a M/a M.
  2. Sean A un anillo y p un ideal primo de A. El conjunto S = A \ p es multiplicativamente cerrado en A y S-1A es un anillo local.
  3. Existen módulos planos que no son libres.

    4.  

     

Ejercicio 2:(2'5 puntos) Sea k un cuerpo e I Ì k[X1,...,Xn] = k[X] un ideal tal que V = V(I) Ì kn sea una variedad afín finita de cardinal m, V = {P1,...,Pm}.
  1. Probar que la aplicación
    2. j: k[X]/I ® km
    dada por j(f+I) = (f(P1),...,f(Pm)), está bien definida y es un homomorfismo de anillos sobreyectivo.
  2. Supongamos que k es algebraicamente cerrado. Probar que:
    3. j   es isomorfismo Û I   es radical.
  3. Dar un contraejemplo donde se vea que la equivalencia del apartado anterior es falsa si se suprime la hipótesis ``k algebraicamente cerrado".

    4.  

     

Ejercicio 3:(3 puntos) Sea k un cuerpo infinito, I1,...,Im ideales de k[X1,...,Xn] = k[X] y sea J el siguiente ideal de k[Y1,...,Ym,X1,...,Xn]
J = á1-(Y1+...+Ym) ñ+  m
å
i = 1		 áYi ñIi.
  1. Probar que si Jm = J Çk[X] se tiene que
    2. Jm =  m
    Ç
    i = 1    		 Ii.
  2. Deducir del apartado anterior un algoritmo para calcular la intersección de un número finito de ideales. Razonar la respuesta.