ALGEBRA III

Examen final de junio (Segundo parcial) 21-6-01

Ejercicio 1:(4'5 puntos) Demostrar las siguientes afirmaciones. Si coinciden con proposiciones demostradas en teoría o son equivalentes a algunas de éstas, habrá de repetirse la demostración dada en clase o sustituirse por otra similar que se base en los mismos preliminares. Los resultados que se usen en las demostraciones no habrá que demostrarlos, pero sí dejar sus enunciados bien claros.

  1. Sean A Ì B anillos, a Î B. Las siguientes condiciones son equivalentes
    1. a es entero sobre A.
    2. Existe un subanillo de B que contiene a A y a a, y que es un A-módulo finitamente generado.
  2. Sea k un cuerpo infinito, V = V(I) Ì An(k) una variedad afín. Si k es algebraicamente cerrado, entonces
    3. dim(V) = grad(aPHI),
    pero si k no es algebraicamente cerrado, la igualdad anterior puede no verificarse.
  3. Sea A un anillo e I Ì A un ideal descomponible. Los primos que aparecen en el conjunto de ideales
    4. {   ____
    Ö(I:x)
         		   |   x Î A },
    son exactamente los primos asociados a I.
Ejercicio 2:(1 punto) Sea I = ( x (x-y) ,(y-1)(x-y)) Ì k[x,y] y consideremos A = k[x,y]/I. Encontrar dos cadenas de primos de A saturadas y de distinta longitud. Razonar la respuesta.

Ejercicio 3:(4'5 puntos) Sea k un cuerpo infinito. Se llama curva normal racional a la imagen de la parametrización polinomial

j: 
A1(k) 
®
An(k) 
t 
®
(t,t2,t3, ¼, tn).
  1. Probar que la curva normal racional, V, es una variedad afín de An(k) irreducible.
  2. Probar que al restringir j sobre su imagen se obtiene un isomorfismo entre variedades afines.
Se considera el ideal I Ì k[X0,¼,Xn] generado por todos los posibles 2 ×2 menores de la matriz 2 ×n
æ
ç
è
X0
X1
X2
¼
Xn-1
X1
X2
X3
¼
Xn
ö
÷
ø		 .
Sea W: = Vp(I) Ì Pn(k).
  1. Considerando An(k) = Pn(k)\Vp(X0), probar que
    2. W ÇAn(k) = W \{ P},
    donde P = (0:...:0:1).
  2. Probar que
    3. _
    [V] =
    W.
A W se le llama curva racional proyectiva.