ALGEBRA. Examen final de junio (Primer parcial) 30-6-00
 

Ejercicio 1:(4'5 puntos) Demostrar las siguientes afirmaciones. Si coinciden con proposiciones demostradas en teoría o son equivalentes a algunas de éstas, habrá de repetirse la demostración dada en clase o sustituirse por otra similar que se base en los mismos preliminares. Los resultados que se usen en las demostraciones no habrá que demostrarlos, pero sí dejar sus enunciados bien claros.
1.- Sea A un anillo local y M un A-módulo finitamente generado. Existe una cota inferior para el cardinal de un sistema generador de M y los sistemas de generadores de M que alcanzan dicha cota pueden caracterizarse por una condición algebraica.
2.- Sean A un anillo, B1, B2 y C álgebras sobre A,y sean Fi: Bi ® C homomorfismos de A-álgebras, i = 1,2. Entonces, existe un único homomorfismo de A-álgebras

f:B1 ÄB2 ® C
tal que Fi = f °ai, para i = 1,2, siendo
a1: B1 ®B1 ÄB2        a2: B2® B1 ÄB2
los homomorfismos de A-álgebras tales que a1(b1) = b1 Ä1, y a2(b2) = 1 Äb2, para todo bi Î Bi, i = 1,2.
3.- Sea A un anillo, S Ì A un conjunto multiplicativamente cerrado, y sea g:A ® B un homomorfismo de anillos tal que g(s) es unidad de B, para todo s Î S. Entonces, existe un único homomorfismo de anillos h:S-1A ® B tal que g = h °f.

Ejercicio 2: (4 puntos) Sea k un cuerpo, y sean V y W dos variedades afines de kn.
1.-Dar un ejemplo donde se vea que

V-W = { P Î V   |   P \not Î W },
no es en general una variedad afín.
2.- Sean I, J Î k[X1,...,Xn] dos ideales. Probar que
V(I) - V(J)
 		 Ì V(I:J).
Además, si k es algebraicamente cerrado e I es radical, se da la igualdad.
3.- Probar que I(V): I(W) = I(V-W).

Ejercicio 3: (1'5 puntos) Sea k un cuerpo, P Î kn un punto y k[X] = k[X1,...,Xn]. El conjunto siguiente se llama anillo de funciones regulares en el punto P

OP =  ì
í
î		 f(X)
g(X)		   |   f, g Î k[X]  , g(P) ¹ 0  ü
ý
þ
Probar que es un anillo local y noetheriano.