Esta asignatura, anual, tiene asignada 3 horas semanales de docencia. Como regla general se dedicarán 1,5 horas a los resultados teóricos y otras 1,5 horas a los prácticos (problemas y ejercicios).

Tema 1. Anillo local de una curva en un punto. Anillos de valoración discreta. Puntos lisos de curvas planas.

Tema 2. Anillos locales regulares. Puntos lisos de variedades. Criterio jacobiano de regularidad.

Tema 3. Funciones y morfismos racionales sobre variedades. Cuerpo de funciones racionales sobre una variedad. Explosiones.

Tema 4. Transformaciones cuadráticas. Resolución de singularidades de curvas planas.

Tema 5. Divisores sobre una curva. Divisor de una función racional. Equivalencia lineal de divisores.

Tema 6. Teorema de Riemann. Género de una curva.

Tema 7. Derivaciones y diferenciales. Divisores canónicos. Cálculo de un divisor canónico.

Tema 8. Teorema de Riemann - Roch.

Tema 9. Curvas de géneros 0 y 1. Una aplicación del teorema de Riemann-Roch: curvas elípticas.

Tema 10. Otras aplicaciones del teorema de Riemann - Roch.
 
 

La Bibliografía dista muchísimo de ser completa. Todos los temas de la asignatura están tratados en al menos una de las obras que se citan a continuación.

1.- Atiyah, M.; MacDonald, I.G.: Introducción al álgebra conmutativa. Ed. Reverté, 1975. (Versión inglesa en ed. Addison - Wesley, 1969. (Muy recomendable)).

2.- Cassels, J.W.S.: Diophantine equations with special reference to elliptic curves. J. London Math. Soc. (1966), 193 - 291.

3.- Clemens, C.H.: A scrapbook of complex curve theory. Ed. Plenum Press, 1980.

4.- Fulton, W.: Curvas algebraicas. Ed. Reverté, 1971. (Versión inglesa en ed. Benjamin, 1969).

5.- Griffiths, P.A.: Introduction to algebraic curves. American Mathematical Society, 1989.

6.- Kunz, E.: Introduction to commutative algebra and algebraic geometry. Ed. Birkhäuser, 1985.

7.- Matsumura, H.: Commutative Algebra. Ed. Benjamin, 1975.

8.- Orzech, G.; Orzech, M.: Plane algebraic curves. Ed. Marcel Dekker, 1981.

9.- Reid, M.: Undergraduate algebraic geometry. Cambridge Univ. Press, 1988.

10.- Reid, M.: Undergraduate commutative algebra. Cambridge Univ. Press, 1993.

11.- Seidenberg, A.: Elements of the theory of algebraic curves. Ed. Addison - Wesley, 1968.

12.- Silverman, J.: The arithmetic of elliptic curves. Ed. Springer, 1986.

13.- Zariski, O; Samuel, P.: Commutative Algebra (2 vols.). Ed. Van Nostrand, 1958. Ed. Springer, 1990.
 
 

Se hace hincapié en llegar a resultados fundamentales evitando el desarrollo innecesario del lenguaje. Por ejemplo, se ha evitado la teoría de los esquemas de Grothendieck (aunque no la del espectro primo de un anillo); desarrollo, por otra parte, absolutamente imprescindible para otros menesteres, lejos de los objetivos de este curso.

La materia presentada en este programa sirve de base a futuros estudios en Geometría Algebraica y Geometría Analítica modernas y de complemento a posibles estudios en otros temas afines, como son la teoría de números o la teoría algebraica de los sistemas diferenciales (D-módulos).

En la medida de lo posible se harán "cálculos efectivos". La herramienta básica será en este caso la teoría de las bases de Gröebner, que se supone conocida.

Las clases teóricas se complementan con unas clases prácticas en las que el alumno es invitado a ser parte activa, participando en el desarrollo de las mismas, proponiendo ejercicios de aplicación de la teoría o resolviendo problemas anteriormente propuestos.

Se dará especial importancia al trabajo personal de cada alumno y se fomentará el trabajo en pequeños grupos, proponiendo a éstos la realización y exposición de temas complementarios a los del presente programa. Naturalmente, todo lo anterior teniendo en cuenta que esta asignatura tiene asignadas tres horas semanales de clase.
 
 

La asignatura está dividida en dos partes. La primera comprende los primeros cinco temas del programa; la segunda los temas restantes.

Los alumnos dispondrán de dos exámenes parciales cuatrimestrales, que serán eliminatorios hasta la convocatoria de Junio. Dichos exámenes constarán de ejercicios prácticos y de cuestiones teóricas. Para aprobar la asignatura en el mes de Junio será necesario superar cada una de las partes, ya sea en los exámenes cuatrimestrales o en el examen final.