Técnicas Matemáticas de Resolución de Problemas

 

CONTINUIDAD

Función continua

 

 

 

 

 

 

Si alguna de las tres condiciones no se cumple, la función es discontinua en x0.

 

Se dice que una función es continua en un intervalo cuando es continua en todos los puntos del intervalo.

 

 

OPER. CON FUNCIONES CONTINUAS

 

Suma

La suma de dos funciones continuas en un punto es también una función continua en ese punto.

 

Demostración:

 

 

 

 

Aplicando una de las propiedades de los límites de funciones,

 

       

 

 

 

Resta

La resta de dos funciones continuas en un punto es también una función continua en ese punto.

 

Esta demostración, como las que siguen, se hacen de forma similar a la anterior, basándose en las propiedades de los límites de funciones.

 

 

Producto

El producto de dos funciones continuas en un punto es también una función continua en ese punto.

 

 

Producto de una función por un número

El producto de una función continua en un punto, por un número real, es otra función continua en ese punto.

 

 

Cociente

El cociente de dos funciones continuas en un punto es otra función continua en ese punto. (Siempre que el denominador no se anule).

 

 

Composición de funciones

 

PROP. DE LAS FUNCIONES CONTINUAS

 

Si una función es continua en un punto x0, entonces es convergente en x0, es decir, existe el límite de la función cuando x tiende a x0.

 

 

                      

 

 

CONT. DE FUNCIONES ELEMENTALES

 

Función constante La función constante f(x) = k es continua en todos los puntos.

 

Función identidad

La función identidad f(x) = x es continua en todos los puntos.

 

Función potencial

La función potencial f (x) = xn   es continua en todos sus puntos, salvo el caso en que n<0 y x=0, ya que en este caso se tendría una función racional con denominador nulo.

 

Función polinómica

los puntos, por ser suma de funciones continuas en todos los puntos.

 

Función racional

en todos los puntos, salvo en los que el denominador se anula, por ser un cociente de dos funciones continuas.

  

Función exponencial

 

La función exponencial f(x) = ax, con a > 0, es continua en todos los puntos.

 

Función logarítmica

La función f(x) = loga   x, siendo a > 1, es continua en todos los puntos de su campo de existencia (0, +¥).

 

 

Discontinuidad evitable

Una función presenta una discontinuidad evitable en un punto x0 cuando, existiendo el límite de la función en éste, no coincide con el valor que toma la función en el punto (caso c):

 

 

La discontinuidad se puede evitar asignando a la función, en el punto x0, el valor de su límite.

 

el que hace la función sea continua en ese punto.

 

 

Discontinuidad inevitable

Una función presenta una discontinuidad inevitable en un punto x0 cuando o bien no existe algún límite lateral (caso a) o bien los límites laterales existen pero son distintos (caso b), en cuyo caso no existe el límite.