Técnicas Matemáticas de Resolución de Problemas

Integración por cambio de variable (o sustitución)

Este método consiste en transformar la integral dada en otra más sencilla mediante un cambio de la variable independiente. Aunque algunos casos tienen un método preciso, es la práctica, en general, la que proporciona la elección del cambio de variable más conveniente.

 

Se comenzará por estudiar aquellas integrales que son casi inmediatas.

 

 

 

Si en lugar de x  se tuviese una función u(x), la regla de la cadena

 

Por tanto,

                               

 

Como se ve, se ha escrito u en lugar de u(x) por simplificar la notación.

 

En general, se trata de encontrar una función x=g(t), la cual sustituida por x bajo el signo integral, convierta la integral dada en otra más sencilla (en la nueva variable t). La sustitución debe cumplir:

1 Ser derivable con derivada no nula, es decir:

2 Admitir función inversa:

Entonces se tiene que:

Los tipos más usuales de sustitución y que conducen a los mejores resultados son:

1. En funciones exponenciales, logarítmicas e inversas de trigonométricas:

Tipo de integral

Sustitución

Cálculo de elementos

2. En funciones trigonométricas:

Para integrales del tipo

Sustitución

Cálculo de los elementos

     

  • Si R(sen x, cos x) es impar en sen x

     

Hacemos cos x=t

     

  • Si R(sen x, cos x) es impar en cos x

     

Hacemos sen x=t

     

  • Si R(sen x, cos x) es par en sen x y cos x hacemos tg x=t

     

  • Si R(sen x, cos x) no cumple ninguna de las características anteriores hacemos

 

 

 

 

 

Se estudia aquí esta integral por resolverse mediante un cambio de variable y por su frecuente uso en el cálculo de áreas y volúmenes mediante integrales definidas, que se estudiarán más adelante.

 

se hace uso del cambio de variable, x = a · sen t.

 

Diferenciando, dx = a · cos t dt.

 

Así,

          

 

 

 

Por trigonometría se sabe que:

 

                                                                                                                                                                                                                                                                                                               

                                                                                                                                                                                    

En consecuencia,

                    

                    

                    

 

Recordando que sen 2 t = 2 sen t · cos t,

 

          

 

 

                               

Se llega, finalmente, a la siguiente igualdad:

 

                               

 

 

Ejemplo

 

 

Resolución:

 

· Cambio de variable:

                                           x = 3 sen t

                                          dx = 3 cos t dt

                                     

 

                    

                    

 

 

                   

                   

 

· Se deshace el cambio:

 

                   

 

 

Resolución:

 

· En este caso se aplicará directamente el resultado al que se llegó: