Seminario del Departamento de
Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico

Fecha : 31 de mayo de 2017
Hora  : 11:00
Lugar : Seminario del Departamento (Fac. de Matemáticas, 3a. planta, módulo 34)

Virginia Selgas

(Universidad de Oviedo)

Resumen

Nuestro trabajo está motivado por el modelo de sistemas dinámicos propuesto por Sánchez-Palencia en [5] para simular el proceso de desdoblamiento de una población, con o sin diferenciación. Dicho modelo considera poblaciones con densidades independientes del espacio, y nuestro objetivo es generalizarlo a poblaciones con densidades que, dependen del espacio. En particular, esta generalización conduce a toda una familia de problemas de ecuaciones en derivadas parciales de difusión cruzada, incluyendo varios de los modelos de segregación más habituales. Así, entre los posibles modelos de segregación, en nuestro trabajo anterior [3] analizamos el caso en el que la difusión cruzada es del tipo de la introducida por Shigesada et al. en [6]. Por el contrario, aquí consideramos el modelo propuesto por Busenberg y Travis en [2], para el cual esperamos que los efectos de la segregación sean más importantes (al respecto, véase [4] y sus referencias). En este trabajo, proponemos una demostración de la existencia de soluciones en el caso unidimensional en espacio para el modelo de [2]. Nuestra demostración es ligeramente más general y conceptualmente más sencilla que la propuesta en [1]. De hecho, nuestra demostración se basa en una regularización parabólica del problema original; por el contrario, la demostración de [1] reescribe el problema en variables auxiliares de modo que el nuevo problema es parabólico-hiperbólico. Además, parece que nuestra técnica selecciona de manera natural una solución única del problema (el límite de soluciones de viscosidad nula de los problemas parabólicos regularizados) y, por lo tanto, evita las dificultades de la posible no unicidad de solución de la formulación parabólica-hiperbólica propuesta en [1]. Para estudiar el comportamiento numérico de nuestra estrategia frente a la reformulación de [1], hemos introducido una discretización total de cada uno de estos esquemas basada en elementos finitos P1 en espacio y diferencias divididas regresivas en tiempo. Comparando los resultados para una batería de experimentos, hemos observado que nuestra formulación es más estable en las regiones en las que la solución presenta discontinuidades. Además, una de las restricciones teóricas fundamentales de nuestro análisis (que no es otra que la condición de densidad total inicial estrictamente positiva) no es una condición necesaria y parece que podría ser suficiente que la densidad total inicial fuera no negativa. Referencias: [1] M. Bertsch, R. Dal Passo, M. Mimura, A free boundary problem arising in a simplified tumour growth model of contact inhibition, Interfaces and Free Boundaries, 12, pp. 235-250, 2010. [2] S.N. Busenberg, C.C. Travis, Epidemic models with spatial spread due to population migration, Journal of Mathematical Biology, 16, pp. 181-198, 1983. [3] G. Galiano, On a cross-diffusion population model deduced from mutation and splitting of a single species, Computers and Mathematics with Applications, 64(6), pp. 1927-1936, 2012. [4] G. Galiano, V. Selgas, On a cross-diffusion segregation problem arising from a model of interacting particles, Nonlinear Analysis. Real World Applications, 18, pp. 34-49, 2014. [5] E. S´anchez-Palencia, Competition of subspecies and structural stability. Survival of the best adapted or coexistence? International Congress on Nonlinear Models in Partial Differential Equations, Toledo, Spain, 2011. [6] N. Shigesada, K. Kawasaki, E. Teramoto, Spatial segregation of interacting species, Journal of Theoretical Biology, 79(1), pp. 83–99, 1979.